位取り記数法と0の役割

イントロ

数字の位置が値を決める

0は空いた位を守る記号

205の2は二百、25の2は二十です。同じ数字でも位置により値が変わる仕組みを位取り記数法といい、0は「量がない位」を示しながら他の数字の位置を保ちます。この仕組みが少ない記号で大きな数を表せる理由です。

定義

教科書では: 限られた数字を使い、置かれた桁の位置によって各数字の値を決める数の表し方です。
言いかえると: 十進法では右端を一の位とし、左へ一桁進むたびに重みが10倍になります。205は2百、0十、5一の合計です。0を省いて25と書けば、2の位置が十の位へ移り別の数になります。数字という記号と、その位置を合わせて初めて値が決まります。

要点

使う数字が何種類かではなく、左へ進むと重みが何倍になるかに注目します。十進法なら一つの位には0から9を置き、10個集まると左へ繰り上がります。

例

場面: 302という表記を、各桁の値の和に分ける。
順に考えると: 右から一の位、十の位、百の位なので、302=3×100+0×10+2×1です。十の位は0ですが、書かなくてよいわけではありません。0が百の位の3と一の位の2の間を保ち、三百二だと伝えます。32なら3×10+2×1であり、百の位そのものがありません。
ここが結論: 0は値を加えなくても、空いた位を明示して他の数字の重みを正しく伝える重要な記号です。

比較

表し方十進法

表し方六十進法

表し方二進法

基数が変わると使える数字と桁の重みは変わりますが、右端を基準に位置で値を表す考えは共通です。時間の60秒・60分には六十進法の考えの名残が見られます。

注意

確認

Q1

302の0が果たす役割として最も適切なのはどれですか。

まとめ

0と1だけで数を表す二進法を、位の重みとオン・オフの対応から理解し、十進数との相互変換を行います。