和算と状態で解く油分け算

イントロ

歴史的な問題を状態へ翻訳する

油量を数の組で記録する

10升の油を7升枡と3升枡で5升ずつに分ける和算の問題です。勘だけで注ぐのではなく、三容器の量を数の組として残すと、可能な操作と行き止まりを検証できます。昔の生活課題も現代の数学的表現で考え直せます。

定義

教科書では: ある時点の三容器の油量を、(10升桶, 7升枡, 3升枡)の順の数の組で表したものです。
言いかえると: 最初は(10,0,0)、目標は(5,5,0)です。一回の操作は、一方が空になるか受け手が満杯になるまで注ぐことです。目盛りは使えないため途中で都合よく止めません。順番を固定すれば同じ数の組が必ず同じ状況を意味し、手順を他者と比較できます。

要点

注ぐ前後で総量は10升のままです。さらに各成分は0以上で、容器の容量を超えません。この二条件は候補状態の誤りをすぐ除く検算になります。

手順

例

場面: 初期状態(10,0,0)から、10升桶と7升枡に5升ずつ分ける。
順に考えると: 一つの経路は(10,0,0)→(3,7,0)→(3,4,3)→(6,4,0)→(6,1,3)→(9,1,0)→(9,0,1)→(2,7,1)→(2,5,3)→(5,5,0)です。例えば(3,4,3)→(6,4,0)では3升枡を10升桶へ空になるまで戻します。各矢印で注ぎ手が空か受け手が満杯になり、合計10も保たれます。
ここが結論: 最後は10升桶と7升枡に5升ずつ、3升枡は空です。経路の各状態が制約を守るため、単なる答えではなく実行可能な手順になっています。

注意

確認

Q1

状態(3,7,0)から7升枡の油を3升枡へ満杯まで注ぐと、次状態はどれですか。

まとめ

盤面を二色に塗り分け、操作で変わらない色数の関係から敷き詰めの不可能性を説明します。