二項分布の確率

イントロ

成功回数を一つの確率分布として扱う

同じ条件の独立な試行を決まった回数行うとき、成功回数Xは二項分布に従います。成功する位置の選び方と、1通りの並びの確率を掛けて求めます。

定義

教科書では: n回の独立な試行で、成功確率が毎回pであるときの成功回数Xの分布です。
言いかえると: 「表が出る」「合格する」など、数える側を成功と決めます。試行回数nは固定、各回は成功か失敗、成功確率pは一定、各回は独立という4条件が必要です。条件を満たすとXは0からnまでをとり、XはB(n,p)に従うと書きます。

公式

Xが二項分布B(n,p)に従い、q=1-pとします。

成功がk回の確率

P(X=k)=nCk p^k(1-p)^n-k

成功するk個の位置の選び方と、成功k回・失敗n−k回の1通りの確率を掛けます。

使うときのコツ

pと1−pの指数の和がnになるか確認します。

解くコツ

公式へ代入する前に「成功とは何か」「n、p、kはいくつか」を一行で固定します。さらに、復元の有無と各回の条件が変わらないことを文章から確かめます。

要点

一つでも欠けたら、同じ公式を自動的には使えません。

手順

例

場面: 公平な硬貨を4回投げ、表がちょうど2回出る確率を求める。
順に考えると: 成功を表とすればn=4、p=1/2、k=2です。表になる2位置の選び方は6通りで、どの並びも確率(1/2)²(1/2)²=1/16です。したがってP(X=2)=6/16=3/8です。表2回・裏2回なので指数の和も4です。
ここが結論: 表がちょうど2回出る確率は3/8です。

注意

確認

Q1

成功確率0.2の独立な試行を5回行い、成功が2回となる確率の式はどれですか。

まとめ

二項分布B(n,p)の平均np、分散np(1−p)、標準偏差を求め、成功回数の中心と散らばりとして読みます。

新しいカテゴリが追加されました