イントロ
二項分布の平均・分散
成功回数の中心と広がりを公式でつかむ
二項分布では、平均は試行回数×成功確率、分散はさらに失敗確率を掛けた値です。確率を一つずつ計算しなくても分布の特徴が分かります。
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定義
二項分布の中心と散らばり
- 教科書では
- B(n,p)の平均はnp、分散はnp(1−p)、標準偏差はその平方根です。
- 言いかえると
- 1回あたりの成功回数の平均はpなので、n回分を合わせた中心がnpになります。成功と失敗の揺れはp(1−p)で表され、n回分の分散はnp(1−p)です。平均は最も起こりやすい整数と必ず一致するわけではありません。
公式
二項分布の三つの量
XがB(n,p)に従い、q=1−pとします。
平均
E(X)=np
n回で期待される成功回数の中心です。
- n試行回数
- p成功確率
使うときのコツ
答えは0からnの範囲に入るか確認します。
分散と標準偏差
V(X)=npq, σ(X)=√npq
qは失敗確率で、分散の平方根が標準偏差です。
- q1−p、失敗確率
- σ(X)成功回数の標準偏差
使うときのコツ
qを書いてから分散を計算し、標準偏差が必要なら最後に平方根をとります。
解くコツ
平均、分散、標準偏差を別行に書き、平方根をとる段階を混ぜないようにします。
手順
三つの量を求める
- 1
問題が二項分布の条件を満たすか確認する
- 2
nとpを読み、q=1−pを求める
- 3
平均npを計算する
- 4
分散npqを計算する
- 5
標準偏差が問われたら分散の平方根をとる
比較
| 量 | B(20,0.3) | 分布上の意味 |
|---|---|---|
| 平均 | 6 | 成功回数の中心 |
| 分散 | 4.2 | 散らばりの二乗尺度 |
| 標準偏差 | 約2.05 | 回数と同じ尺度の幅 |
量平均
- B(20,0.3)
- 6
- 分布上の意味
- 成功回数の中心
量分散
- B(20,0.3)
- 4.2
- 分布上の意味
- 散らばりの二乗尺度
量標準偏差
- B(20,0.3)
- 約2.05
- 分布上の意味
- 回数と同じ尺度の幅
平均6は中心、標準偏差約2.05は典型的なずれの尺度です。「必ず4回から8回に入る」という境界ではありません。
例
- 場面
- 成功確率0.3の独立な試行を20回行い、成功回数をXとする。
- 順に考えると
- XはB(20,0.3)に従い、q=0.7です。平均は20×0.3=6、分散は20×0.3×0.7=4.2です。標準偏差は√4.2≈2.049なので、約2.05回です。分散4.2には回数の二乗という尺度があり、標準偏差で回数へ戻ります。
- ここが結論
- 平均6、分散4.2、標準偏差約2.05です。
注意
分散と標準偏差を混ぜない
確認
確認テスト
Q1
XがB(10,0.4)に従うとき、平均と分散の組はどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
B(n,p)の平均はnp
- 2
分散はnp(1−p)
- 3
標準偏差は分散の平方根
- 4
平均は中心、標準偏差は広がりの尺度