正規分布の形と面積

イントロ

平均が中心、標準偏差が横の広がり

正規分布は平均のまわりで左右対称な釣鐘形の連続分布です。区間に入る確率は曲線の高さではなく、その区間の下にある面積で表します。

定義

正規分布

教科書では: 平均μを中心に左右対称で、標準偏差σが広がりを決める連続型確率分布です。
言いかえると: 曲線全体の下の面積は1です。平均を変えると山の中心が横へ移り、標準偏差を大きくすると山は低く広くなります。連続分布では、ちょうど一つの値をとる確率ではなく、ある範囲に入る確率を面積で考えます。

公式

平均からの距離と面積

Xが平均μ、標準偏差σの正規分布に従うとします。

正規分布の表記

X~N(μ,σ²)

平均がμ、分散がσ²である正規分布です。

μ分布の平均、対称の中心
σ分布の標準偏差

使うときのコツ

Nの2番目の値は標準偏差ではなく分散です。

代表的な中央区間

P(|X-μ|≤σ)≈0.683, P(|X-μ|≤2σ)≈0.954, P(|X-μ|≤3σ)≈0.997

平均から1、2、3標準偏差以内に入る両側区間の近似確率です。

|X−μ|平均からの距離

使うときのコツ

片側ではなく、平均をはさんだ中央全体の面積です。

解くコツ

区間端が平均から標準偏差何個分かを数えてから、対応する中央面積を選びます。

正規曲線の平均から1、2、3標準偏差の中央面積を色と境界線で示す図 — 平均μを中心に、±1σ、±2σ、±3σへ区間を広げると中央面積は約68.3%、95.4%、99.7%になります。境界線とラベルでも範囲を区別できます。

要点

曲線を読む三つの視点

高さだけでなく、中心・広がり・区間の面積を分けて見ます。

1
曲線は平均μについて左右対称
2
標準偏差σが大きいほど横に広がる
3
全体の面積は1
4
区間の確率はその区間の下の面積

比較

中央区間	近似面積	両端の位置
平均±1σ	68.3%	μ−σ、μ+σ
平均±2σ	95.4%	μ−2σ、μ+2σ
平均±3σ	99.7%	μ−3σ、μ+3σ

中央区間平均±1σ

近似面積: 68.3%
両端の位置: μ−σ、μ+σ

中央区間平均±2σ

近似面積: 95.4%
両端の位置: μ−2σ、μ+2σ

中央区間平均±3σ

近似面積: 99.7%
両端の位置: μ−3σ、μ+3σ

区間が広がるほど面積は増えますが、有限の区間で全体の1になるわけではありません。

例

場面: ある測定値Xが平均70、標準偏差5の正規分布に従う。
順に考えると: 平均から1標準偏差の下端は70−5=65、上端は70+5=75です。したがって65以上75以下に入る確率は約0.683です。同様に60以上80以下なら平均±2標準偏差なので約0.954です。
ここが結論: 65〜75に約68.3%、60〜80に約95.4%が入ります。

注意

曲線の高さを点の確率にしない

確認

確認テスト

Q1

平均50、標準偏差4の正規分布で、約68.3%が入る中央区間はどれですか。

まとめ

1
正規分布は平均を中心に左右対称
2
標準偏差が横の広がりを決める
3
確率は区間の曲線下面積
4
平均±1σ、±2σ、±3σの面積を区別する

確率分布と正規分布

標準化と正規分布の確率

値を平均から標準偏差何個分かを表すz値へ標準化し、標準正規分布の面積から確率を求めます。