イントロ
標準化と正規分布の確率
平均との差を標準偏差の個数へ換算する
標準化は、元の値を「平均から標準偏差何個分離れているか」というz値へ変える操作です。異なる平均や単位の正規分布を共通の標準曲線で扱えます。
1 / 11 ブロック9%
上下にスクロールするかキーボードの上下キーを使うと、次の学習カードへ進めます。
定義
標準化
- 教科書では
- 値から平均を引き、標準偏差で割ってz値へ変換することです。
- 言いかえると
- z=0は平均、z=1は平均より1標準偏差上、z=−1は平均より1標準偏差下を意味します。単位のあるXから単位のないZへ変わるため、異なる分布でも同じ標準正規分布表を使えます。符号は平均のどちら側かを示す大切な情報です。
公式
標準化の式
Xの平均をμ、標準偏差をσとします。
z値
Z=(X-μ)σ
元の値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
- X元の確率変数
- μXの平均
- σXの標準偏差
- Z標準化した確率変数
使うときのコツ
X−μの順を守り、平均との差が負ならzも負です。
標準正規分布
Z~N(0,1)
標準化したZは平均0、分散1の正規分布に従います。
- N(0,1)平均0、分散1の正規分布
使うときのコツ
2番目の1は分散ですが、標準偏差も1です。
解くコツ
原値、平均との差、z値、求める面積の順に4行で書くと符号を保てます。
手順
確率へ変える5手順
- 1
平均μと標準偏差σを確認する
- 2
境界値からμを引く
- 3
σで割ってz値を求める
- 4
標準曲線上で求める領域を図示する
- 5
使用する表の面積の定義を確認して値を読む
比較
| 元の位置 | z値 | 曲線上の位置 |
|---|---|---|
| X<μ | 負 | 平均より左 |
| X=μ | 0 | 曲線の中心 |
| X>μ | 正 | 平均より右 |
元の位置X<μ
- z値
- 負
- 曲線上の位置
- 平均より左
元の位置X=μ
- z値
- 0
- 曲線上の位置
- 曲線の中心
元の位置X>μ
- z値
- 正
- 曲線上の位置
- 平均より右
標準化しても大小関係は変わりません。求める領域が左側か右側かをz値の符号と照合します。
例
- 場面
- Xが平均70、標準偏差5の正規分布に従うとき、P(X≤75)を求める。
- 順に考えると
- 75を標準化するとz=(75−70)/5=1です。求めるのは75以下なので、標準正規分布でz=1より左側の面積です。左側累積確率を掲載する表では0.8413と読めます。平均より上の値なのでzが正、確率が0.5より大きいことも検算になります。
- ここが結論
- P(X≤75)≈0.8413です。
注意
表の数値だけを拾わない
確認
確認テスト
Q1
平均100、標準偏差10の正規分布でX=85を標準化したz値はどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
z値は平均との差を標準偏差で割る
- 2
zの符号は平均の左右を表す
- 3
標準化後は平均0、標準偏差1
- 4
曲線の領域と表の定義を一致させる
次へ