イントロ
二項分布の正規近似
整数の棒を連続な釣鐘形の面積へ置き換える
試行回数が十分大きい二項分布は、同じ平均と分散をもつ正規分布で近似できます。整数ごとの棒を面積へ移すときは、境界を0.5ずらす連続補正を使います。
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定義
正規近似と連続補正
- 教科書では
- 離散的な二項分布を連続な正規分布で近似し、整数の範囲を半整数の境界へ直すことです。
- 言いかえると
- 二項分布の棒が滑らかな釣鐘形へ近づくと、たくさんの二項確率の和を正規曲線の面積で見積もれます。ただしX=54の棒にも横幅があると考え、X≤54は連続変数Y≤54.5へ対応させます。この0.5の調整が連続補正です。
公式
近似する正規分布
XがB(n,p)に従い、q=1−pとします。
正規近似
X≈Y, Y~N(np,npq)
二項分布Xを、平均np・分散npqの正規分布Yで近似します。
- X整数値をとる二項分布
- Y近似に使う連続な正規分布
- q1−p
使うときのコツ
標準化に使う標準偏差は√npqです。
上側を含む境界の例
P(X≤k)≈P(Y≤k+0.5)
整数kの棒全体を含めるため、右端をk+0.5へ置きます。
- k+0.5整数kの棒の右境界
使うときのコツ
不等号の向きと、端の整数を含むかを図で確認します。
解くコツ
二項分布の範囲を整数の棒で塗り、その外側の半整数を正規分布の境界にします。
手順
正規近似の5手順
- 1
二項分布のnとpを確認し、近似が妥当な形か見る
- 2
平均npと標準偏差√np(1−p)を求める
- 3
求める整数の棒を図で塗る
- 4
端を半整数へ移して連続補正する
- 5
補正後の境界を標準化して正規分布の面積を読む
比較
| 二項分布の範囲 | 連続補正後 | 境界の意味 |
|---|---|---|
| X≤k | Y≤k+0.5 | kの棒を含む |
| X≥k | Y≥k−0.5 | kの棒を含む |
| a≤X≤b | a−0.5≤Y≤b+0.5 | 両端の棒を含む |
二項分布の範囲X≤k
- 連続補正後
- Y≤k+0.5
- 境界の意味
- kの棒を含む
二項分布の範囲X≥k
- 連続補正後
- Y≥k−0.5
- 境界の意味
- kの棒を含む
二項分布の範囲a≤X≤b
- 連続補正後
- a−0.5≤Y≤b+0.5
- 境界の意味
- 両端の棒を含む
0.5を機械的に足すのではなく、含めたい最初と最後の棒の外側へ境界を置きます。
例
- 場面
- XがB(100,0.5)に従うとき、P(X≤54)を正規分布で近似する。
- 順に考えると
- 平均は100×0.5=50、分散は25、標準偏差は5です。54の棒を含めるためY≤54.5へ連続補正します。標準化するとz=(54.5−50)/5=0.9です。左側累積確率を載せた標準正規分布表では約0.8159と読めます。
- ここが結論
- P(X≤54)は約0.8159と近似できます。
注意
どんな二項分布でも近似しない
確認
確認テスト
Q1
二項分布でP(20≤X≤30)を正規近似するとき、連続補正後の範囲はどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
同じ平均np・分散np(1−p)の正規分布で近似する
- 2
整数の棒を含む外側の半整数へ境界を移す
- 3
補正後の境界を標準化する
- 4
近似の妥当性を確かめ、近似値として答える