イントロ
母集団・標本と無作為抽出
一部のデータから全体を推測する入口
調べたい対象全体が母集団、そこから実際に調べる一部が標本です。標本を偶然に任せる仕組みで選ぶ無作為抽出が、確率を使った推測の土台になります。
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定義
母集団と標本
- 教科書では
- 母集団は知りたい対象全体、標本は母集団から抽出して観測する一部です。
- 言いかえると
- 全国の高校生の通学時間を知りたいなら、対象とする年度や学年を含めて母集団を定めます。その全員を調べる代わりに一部を標本として選び、標本平均から母平均を推測します。誰を選ぶかが偏ると、計算が正しくても推測はずれます。
公式
全体の量と標本の量
同じ平均でも、対象が母集団か標本かで記号を分けます。
母平均と標本平均
母平均 μ, 標本平均 X̄=(X1+...+Xn)n
μは未知の母集団の平均、X̄は抽出したn個の観測値から計算する平均です。
- μ母集団について知りたい平均
- X̄標本から計算する平均
- n標本の大きさ
使うときのコツ
標本を取り直すとX̄は変わりますが、同じ母集団のμは変わりません。
解くコツ
最初に「誰について知りたいか」「誰を実際に測ったか」を別々の文で書きます。
手順
標本調査を設計する順番
- 1
知りたい問いと母集団を具体的に定める
- 2
測る変数と単位を決める
- 3
母集団を覆う抽出枠を用意する
- 4
無作為に標本を選んで同じ方法で測る
- 5
標本統計量と不確かさから母数を推測する
比較
| 区分 | 例 | 性質 |
|---|---|---|
| 母集団 | 対象校の全生徒 | 知りたい全体 |
| 標本 | 無作為に選んだ80人 | 実際に観測する一部 |
| 母数 | 全生徒の平均通学時間 | 通常は未知 |
| 統計量 | 80人の平均通学時間 | 標本から計算 |
区分母集団
- 例
- 対象校の全生徒
- 性質
- 知りたい全体
区分標本
- 例
- 無作為に選んだ80人
- 性質
- 実際に観測する一部
区分母数
- 例
- 全生徒の平均通学時間
- 性質
- 通常は未知
区分統計量
- 例
- 80人の平均通学時間
- 性質
- 標本から計算
母数と統計量を同じ「平均」とだけ書かず、どの集団から得た値かを区別します。
例
- 場面
- ある高校の全生徒900人の平均睡眠時間を推測するため、名簿から乱数で90人を選んで回答を得る。
- 順に考えると
- 母集団は調査時点の全生徒900人、標本は乱数で選んだ90人です。900人の真の平均が母平均μ、90人の回答から計算した平均が標本平均X̄です。標本平均は母平均に近いと期待できますが、別の90人なら値は少し変わります。
- ここが結論
- 90人の平均と、900人全体の平均を同一視せずに推測へ使います。
注意
人数が多いだけでは代表的にならない
確認
確認テスト
Q1
市内の高校生全体の平均通学時間を調べるため、名簿から無作為に選んだ300人を測った。標本はどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
母集団は知りたい全体、標本は観測する一部
- 2
母数は母集団の量、統計量は標本から計算する量
- 3
無作為抽出は選び方の偏りを抑える仕組み
- 4
標本統計量には偶然によるずれがある
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