イントロ
確率変数の期待値
起こりやすさを重みにした分布の中心
期待値は、確率変数の各値にその確率を掛けて足した重み付き平均です。値が大きくても起こりにくければ、中心への影響は小さくなります。
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定義
期待値
- 教科書では
- 確率変数の各値を、その値をとる確率で重み付けした平均です。
- 言いかえると
- 単純平均は値を同じ重さで扱いますが、確率分布では起こりやすさが違います。値と確率の積は、その値が平均へどれだけ寄与するかを表します。すべての寄与を足したE(X)は分布の中心を示しますが、Xがその値を実際にとる必要はありません。
公式
期待値の公式
Xがxᵢを確率pᵢでとるときに使います。
期待値
E(X)=Σxi pi
各値xᵢとその確率pᵢを掛け、すべての値について足します。
- E(X)Xの期待値
- xᵢXがとる値
- pᵢX=xᵢとなる確率
使うときのコツ
先に確率の合計が1か確認すると、掛け合わせのずれを見つけやすくなります。
解くコツ
分布表に「値×確率」の列を追加し、行ごとに対応を崩さず計算します。
手順
期待値を求める手順
- 1
分布表で値と確率の対応を確認する
- 2
各行で値と確率を掛ける
- 3
すべての積を足す
- 4
答えの単位と、分布の中心としての意味を書く
比較
| 見方 | 正しい意味 | 誤った読み |
|---|---|---|
| 1回の結果 | Xがとり得る値のどれか | 必ず期待値になる |
| 多数回の平均 | 期待値の近くへ安定する目安 | 毎回同じ値になる |
| 単位 | Xと同じ単位 | 確率なので単位なし |
見方1回の結果
- 正しい意味
- Xがとり得る値のどれか
- 誤った読み
- 必ず期待値になる
見方多数回の平均
- 正しい意味
- 期待値の近くへ安定する目安
- 誤った読み
- 毎回同じ値になる
見方単位
- 正しい意味
- Xと同じ単位
- 誤った読み
- 確率なので単位なし
期待値は未来の1回を当てる予言ではなく、確率を考慮して分布の中心を比べる指標です。
例
- 場面
- 硬貨2枚を投げたときの表の枚数Xは、0、1、2を確率1/4、1/2、1/4でとる。
- 順に考えると
- 値と確率を対応させると、E(X)=0×1/4+1×1/2+2×1/4です。各項は0、1/2、1/2なので、合計は1です。X=1は実際に起こり得る値ですが、期待値の意味は「次に必ず1枚」ではなく、繰り返したときの表の平均枚数です。
- ここが結論
- 期待値は1枚です。
注意
値だけの単純平均にしない
確認
確認テスト
Q1
Xが0を確率0.2、1を確率0.5、2を確率0.3でとるとき、E(X)はいくつですか。
まとめ
まとめ
- 1
期待値は各値×確率の合計
- 2
値と確率の対応を表の行ごとに守る
- 3
期待値は多数回の平均の目安で、1回の予言ではない
- 4
答えの単位は確率変数と同じ
- 5
期待値は確率変数の最小値と最大値の間に入るので、計算後の検算にも使える大切な性質をもつ