イントロ
確率変数の分散と標準偏差
平均からどれくらい散らばるかを測る
分散は平均からのずれを二乗して確率で重み付けした値です。その平方根である標準偏差は、元の確率変数と同じ単位で散らばりを表します。
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定義
偏差・分散・標準偏差
- 教科書では
- 偏差は値と平均の差、分散は偏差の二乗の期待値、標準偏差は分散の正の平方根です。
- 言いかえると
- 平均だけでは分布の広がりは分かりません。平均との差には正負があり、そのまま平均すると0になるので二乗します。さらに各値の起こりやすさを掛けて足したものが分散です。標準偏差は平方根をとることで、値と同じ単位へ戻します。
公式
分散と標準偏差
平均をμとし、各値xᵢの確率をpᵢとします。
分散
V(X)=Σ(xi-μ)2 pi=E(X2)-μ2
平均からの偏差を二乗し、確率で重み付けして足します。右側の式は検算にも使えます。
- μE(X)、分布の平均
- V(X)Xの分散
- pᵢX=xᵢとなる確率
使うときのコツ
先にμを確定し、偏差、二乗、確率との積の順で表を埋めます。
標準偏差
σ(X)=√V(X)
分散の正の平方根で、Xと同じ単位の散らばりです。
- σ(X)Xの標準偏差
使うときのコツ
分散と標準偏差を答えで取り違えないよう、平方根の有無を確認します。
解くコツ
二つの分散公式で同じ値になるか確かめると、計算ミスを発見できます。
手順
表を一列ずつ作る
- 1
期待値μを求める
- 2
各値について偏差xᵢ-μを書く
- 3
偏差を二乗し、それぞれの確率を掛ける
- 4
合計して分散を出し、必要なら平方根で標準偏差を出す
- 5
単位と散らばりの意味を確認する
比較
| 量 | 計算 | 読み方 |
|---|---|---|
| 偏差 | 値−平均 | 中心からの向きと距離 |
| 分散 | 偏差²の期待値 | 散らばりを二乗単位で表す |
| 標準偏差 | 分散の平方根 | 元と同じ単位で散らばりを表す |
量偏差
- 計算
- 値−平均
- 読み方
- 中心からの向きと距離
量分散
- 計算
- 偏差²の期待値
- 読み方
- 散らばりを二乗単位で表す
量標準偏差
- 計算
- 分散の平方根
- 読み方
- 元と同じ単位で散らばりを表す
分布同士を元の単位で直感的に比べるときは標準偏差、計算式の中では分散がよく使われます。
例
- 場面
- Xは0、1、2を確率1/4、1/2、1/4でとり、期待値は1である。
- 順に考えると
- 平均との差は順に−1、0、1です。二乗すると1、0、1となるので、V(X)=1×1/4+0×1/2+1×1/4=1/2です。標準偏差は√1/2で、約0.707です。値の単位が枚なら、標準偏差も枚として読みます。
- ここが結論
- 分散は1/2、標準偏差は√1/2です。
注意
偏差をそのまま足さない
確認
確認テスト
Q1
分散が9である確率変数の標準偏差はどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
分散は偏差の二乗を確率で重み付けした合計
- 2
標準偏差は分散の正の平方根
- 3
分散は二乗単位、標準偏差は元と同じ単位
- 4
二つの分散公式で検算できる