イントロ
母平均の信頼区間
点の推定に、標本の偶然の揺れを加える
信頼区間は、標本平均のまわりに標準誤差に応じた幅を持たせ、未知の母平均を含むように作る区間です。信頼度は作り方の長期的な成功率を表します。
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定義
信頼区間
- 教科書では
- 標本から、未知の母数を含むことが期待される範囲を一定の手順で作った区間です。
- 言いかえると
- 標本平均だけを答える点推定では、別の標本なら値が変わることを表せません。標本平均の標準偏差である標準誤差を使って上下へ幅を加えると、不確かさを区間として示せます。95%は個々の区間への確率ではなく、同じ作り方を反復したときの割合です。
公式
母平均の95%信頼区間
母標準偏差σが既知で、標本平均を正規分布で扱える設定です。
95%信頼区間
X̄-1.96σ√n ≤ μ ≤ X̄+1.96σ√n
標本平均の左右へ、標準誤差の1.96倍を誤差幅として加えます。
- X̄得られた標本平均
- σ母標準偏差
- n標本サイズ
- 1.96標準正規分布の中央95%の境界
使うときのコツ
標準誤差σ/√nを先に計算し、下端と上端へ同じ幅を使います。
解くコツ
前提→標準誤差→誤差幅→下端と上端→文脈での解釈、の順に答案を作ります。
手順
区間を作る5手順
- 1
無作為性と正規近似などの前提を確認する
- 2
標準誤差σ/√nを求める
- 3
信頼度に対応する係数を掛けて誤差幅を出す
- 4
標本平均から誤差幅を引き、また足す
- 5
母集団・変数・単位を含む文で解釈する
比較
| 表現 | 判定 | 理由 |
|---|---|---|
| 同じ手順の約95%がμを含む | 適切 | 手続きの長期割合 |
| この区間にμが95%で入る | 不適切 | μは固定された未知値 |
| 標本データの95%が区間内 | 不適切 | 母平均の区間であり個体値の範囲ではない |
表現同じ手順の約95%がμを含む
- 判定
- 適切
- 理由
- 手続きの長期割合
表現この区間にμが95%で入る
- 判定
- 不適切
- 理由
- μは固定された未知値
表現標本データの95%が区間内
- 判定
- 不適切
- 理由
- 母平均の区間であり個体値の範囲ではない
何の95%かを曖昧にせず、区間作成手続きが母平均を含む割合として読みます。
例
- 場面
- 標本平均72、母標準偏差8、標本サイズ64から母平均の95%信頼区間を求める。
- 順に考えると
- 標準誤差は8/√64=1です。誤差幅は1.96×1=1.96なので、下端は72−1.96=70.04、上端は72+1.96=73.96です。値に単位がある場合は区間の両端にも同じ単位を付けます。
- ここが結論
- 95%信頼区間は70.04以上73.96以下です。
注意
区間は標本データの範囲ではない
確認
確認テスト
Q1
標本平均50、標準誤差2のとき、母平均の95%信頼区間に最も近いものはどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
信頼区間は標本平均±係数×標準誤差
- 2
95%では基本設定で係数1.96を使う
- 3
信頼度は区間作成手続きの長期的な成功割合
- 4
母平均の区間であり、個々のデータの範囲ではない