イントロ
信頼度・区間幅・標本サイズ
狭い区間を得るには、平方根の壁を越える
信頼区間の誤差幅は、信頼度の係数と母標準偏差に比例し、標本サイズの平方根に反比例します。標本を2倍にしても幅は半分にはなりません。
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定義
誤差幅
- 教科書では
- 信頼区間の中心である標本平均から、片側の端までの距離です。
- 言いかえると
- 誤差幅が小さいほど区間は狭く、母平均を精密に推定できます。ただし信頼度を高くすれば、より多くの反復で母平均を含むために区間を広げる必要があります。精密さを保って信頼度も高めたいなら、標本サイズを増やすなどの設計が必要です。
公式
誤差幅を決める三要素
母標準偏差σが既知の両側信頼区間を考えます。
誤差幅
m=z*σ√n
信頼度に対応する係数z、母標準偏差σ、標本サイズnで片側の幅mが決まります。
- m信頼区間の片側の誤差幅
- z信頼度に対応する標準正規分布の係数
- σ母標準偏差
- n標本サイズ
使うときのコツ
区間全体の幅は2mです。片側の誤差幅と混同しないようにします。
標本サイズの効果
nをr倍 → mを1√r倍
誤差幅はnそのものではなく√nに反比例します。
- r標本サイズを増やす倍率
使うときのコツ
誤差幅を半分にするには√r=2、つまりr=4です。
解くコツ
比較では一度に一要素だけ変え、ほかの条件を固定して増減の向きを判断します。
手順
幅の変化を判断する
- 1
比較する二つの調査で変わる要素を一つ特定する
- 2
信頼度が上がればzが増えると読む
- 3
σが増えれば分布のばらつきが増えると読む
- 4
nの変化は平方根を通して幅へ効く
- 5
片側の誤差幅か区間全体の幅か確認する
比較
| 変える要素 | 誤差幅への影響 | 理由 |
|---|---|---|
| 信頼度を上げる | 広がる | 係数zが大きくなる |
| 母標準偏差を大きくする | 広がる | σに比例する |
| 標本サイズを4倍 | 半分になる | √nが2倍になる |
変える要素信頼度を上げる
- 誤差幅への影響
- 広がる
- 理由
- 係数zが大きくなる
変える要素母標準偏差を大きくする
- 誤差幅への影響
- 広がる
- 理由
- σに比例する
変える要素標本サイズを4倍
- 誤差幅への影響
- 半分になる
- 理由
- √nが2倍になる
狭さだけを追うのではなく、必要な信頼度と調査コストを含めて設計します。
例
- 場面
- 同じ信頼度・母標準偏差で、ある調査の95%信頼区間の誤差幅を4から2へ半減したい。
- 順に考えると
- 誤差幅は1/√nに比例します。幅を1/2にするには√nを2倍にする必要があり、nは2²=4倍です。標本数を単に2倍にすると幅は1/√2倍、約0.707倍にしかなりません。
- ここが結論
- 誤差幅を半分にするには、標本サイズを4倍にします。
注意
大きなnは偏りを直さない
確認
確認テスト
Q1
他の条件を固定して標本サイズを9倍にすると、信頼区間の誤差幅はどうなりますか。
まとめ
まとめ
- 1
誤差幅は係数×母標準偏差÷√標本サイズ
- 2
信頼度を高くすると区間は広がる
- 3
標本サイズ4倍で誤差幅は半分
- 4
大標本でも設計上の偏りは別に点検する