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母平均の正規検定
標本平均のずれを標準誤差の個数で測る
帰無仮説が示す母平均と標本平均の差を標準誤差で割ると、ずれの大きさをz値で表せます。両側検定では正負両方の極端さを数えます。
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定義
母平均の正規検定
- 教科書では
- 帰無仮説の下で標本平均を標準化し、標準正規分布からp値を求める検定です。
- 言いかえると
- 標本平均が基準から4離れていても、標本平均の標準誤差が10なら小さなずれ、2なら2標準誤差分のずれです。z値に直すことで尺度をそろえ、H₀の下でそれ以上のずれがどの程度起こるかを面積で求めます。
公式
母平均を検定するz値
H₀: μ=μ₀、母標準偏差σ既知の基本設定です。
検定統計量
z=(X̄-μ0)(σ/√n)
標本平均と帰無仮説の平均の差が、標準誤差何個分かを表します。
- X̄観測した標本平均
- μ₀H₀で仮定する母平均
- σ√nH₀の下での標本平均の標準誤差
使うときのコツ
分母は個々の値の標準偏差σではなく、標本平均の標準誤差です。
両側p値
p=2P(Z≥|z|)
観測したzと同じ距離以上の、左右両端の面積を合計します。
- |z|帰無仮説の中心0からの距離
使うときのコツ
片側の面積だけで止めず、両側なら2倍します。
解くコツ
仮説と検定方向を先に定め、標準誤差、z、p値、結論を順番に書きます。
手順
母平均を検定する6手順
- 1
H₀とH₁、片側か両側か、有意水準を定める
- 2
無作為性・独立性・正規近似・σ既知を確認する
- 3
標準誤差σ/√nを求める
- 4
z=(X̄−μ₀)/(σ/√n)を計算する
- 5
検定方向に合うp値を標準正規分布から求める
- 6
p値を有意水準と比べ、文脈で結論を述べる
比較
| 段階 | この例 | 意味 |
|---|---|---|
| 標準誤差 | 12/√36=2 | 標本平均の揺れ |
| z値 | (504−500)/2=2 | 基準から2標準誤差 |
| 両側p値 | 約0.0455 | 左右の極端な面積 |
| 5%との比較 | 0.0455<0.05 | H₀を棄却 |
段階標準誤差
- この例
- 12/√36=2
- 意味
- 標本平均の揺れ
段階z値
- この例
- (504−500)/2=2
- 意味
- 基準から2標準誤差
段階両側p値
- この例
- 約0.0455
- 意味
- 左右の極端な面積
段階5%との比較
- この例
- 0.0455<0.05
- 意味
- H₀を棄却
各数値の役割を言葉と対応させると、σで直接割ることや片側だけを数える誤りを防げます。
例
- 場面
- H₀: μ=500、H₁: μ≠500。母標準偏差12、n=36、標本平均504を5%有意水準で検定する。
- 順に考えると
- 標準誤差は12/6=2、z=(504−500)/2=2です。標準正規分布でz≥2の面積は約0.02275なので、両側p値は2倍して約0.0455です。0.0455<0.05よりH₀を棄却します。
- ここが結論
- 5%有意水準で、母平均が500と異なる統計的な証拠があります。
注意
有意差を大きな差と読まない
確認
確認テスト
Q1
H₀: μ=80、母標準偏差10、n=25、標本平均84のとき、検定統計量zはいくつですか。
まとめ
まとめ
- 1
平均差を標本平均の標準誤差で割ってzを求める
- 2
両側検定は左右両端の面積を合計する
- 3
p値を事前の有意水準と比べる
- 4
統計的有意性と実用的な重要性を分ける