イントロ
標本平均の標本分布
標本を取り直すたびに動く平均を分布で捉える
同じ母集団から同じ人数を無作為に選び直すと、標本平均は毎回少し変わります。その標本平均の集まりにも確率分布があり、中心は母平均になります。
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定義
標本平均の標本分布
- 教科書では
- 同じ大きさの無作為標本を繰り返し抽出したときに得られる、標本平均X̄の確率分布です。
- 言いかえると
- 一度得た標本平均は一つの数ですが、抽出前にはどの標本が選ばれるか分からないためX̄は確率変数です。標本を取り直したと想像してX̄を並べると、母平均のまわりに分布します。人数nが大きいほど個々のばらつきが平均化され、分布は狭くなります。
公式
標本平均の中心と広がり
母平均μ、母分散σ²から大きさnの無作為標本を取ります。
平均と分散
E(X̄)=μ, V(X̄)=σ2n
標本平均の分布は母平均を中心とし、分散は個々の値の分散のn分の1です。
- X̄標本平均
- μ母平均
- σ²母分散
- n標本の大きさ
使うときのコツ
nで割るのは分散です。標準偏差では√nで割ります。
標本平均の標準偏差
σ(X̄)=σ√n
標本平均が母平均のまわりで揺れる大きさで、標準誤差とも呼ばれます。
- σ√n標本平均の標準偏差
使うときのコツ
nを4倍にすると標準誤差は半分になります。
解くコツ
個々の値の分布と、平均X̄の分布を別々の横軸で描き、標準偏差を混同しないようにします。
手順
標本平均の分布を読む
- 1
母平均μ、母標準偏差σ、標本サイズnを区別する
- 2
標本平均の中心E(X̄)=μを書く
- 3
標準偏差σ/√nを計算する
- 4
正規分布として扱うための前提を確認する
- 5
一つの標本平均が中心からどれだけ離れたかを読む
比較
| 標本サイズ | 標準誤差 | 分布の形 |
|---|---|---|
| n=1 | σ | 個々の値と同じ幅 |
| n=25 | σ/5 | 中心付近へ狭まる |
| n=100 | σ/10 | さらに中心へ狭まる |
標本サイズn=1
- 標準誤差
- σ
- 分布の形
- 個々の値と同じ幅
標本サイズn=25
- 標準誤差
- σ/5
- 分布の形
- 中心付近へ狭まる
標本サイズn=100
- 標準誤差
- σ/10
- 分布の形
- さらに中心へ狭まる
nを増やしても中心μは変わらず、標本平均の偶然の揺れだけが小さくなります。
例
- 場面
- 母平均50、母標準偏差10の母集団から、大きさ25の無作為標本を取る。
- 順に考えると
- 標本平均X̄の平均は母平均と同じ50です。標本平均の標準偏差は10/√25=10/5=2です。個々の値の標準偏差10をそのまま使わない点が重要です。標本を取り直したとき、多くのX̄は50から数単位の範囲に集まります。
- ここが結論
- E(X̄)=50、σ(X̄)=2です。
注意
一つの標本内の散らばりと混同しない
確認
確認テスト
Q1
母標準偏差12の母集団から大きさ36の無作為標本を取ると、標本平均の標準偏差はいくつですか。
まとめ
まとめ
- 1
標本平均は抽出ごとに変わる確率変数
- 2
標本平均の分布の中心は母平均μ
- 3
標準偏差はσ/√n
- 4
nを増やすと平均の偶然の揺れは小さくなる
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