イントロ
代表値と散らばり
平均が同じでも、データの姿は同じではない
代表値は分布の中心を短く示しますが、値が中心の近くに集まるか広く散るかまでは表しません。比較には中心と散らばりの両方が必要です。
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定義
中心と散らばり
- 教科書では
- 中心は分布の代表的な位置、散らばりは各値が中心からどの程度広がっているかという特徴です。
- 言いかえると
- 平均値や中央値は、多数の値を一つで代表させます。しかし同じ平均でも、ほとんどが平均付近にあるデータと、低い値・高い値へ広がるデータがあります。元の分布や散らばりの指標を併せて見て初めて、安定性や違いを説明できます。
比較
| 見る観点 | 主な問い | 例 |
|---|---|---|
| 平均・中央値 | 中心はどこか | 平均5 |
| 範囲・標準偏差 | どれほど広がるか | 小さい / 大きい |
| 分布の図 | 偏りや外れた値はあるか | ドットプロット |
見る観点平均・中央値
- 主な問い
- 中心はどこか
- 例
- 平均5
見る観点範囲・標準偏差
- 主な問い
- どれほど広がるか
- 例
- 小さい / 大きい
見る観点分布の図
- 主な問い
- 偏りや外れた値はあるか
- 例
- ドットプロット
一つの数で結論せず、問いに合う複数の観点を組み合わせます。
要点
比較するときの順番
代表値を出した後、元データの広がりへ必ず戻ります。
- 1
同じ単位・条件か確かめる
- 2
中心を代表値で比べる
- 3
最小・最大と散らばりを見る
- 4
外れた値や偏りも確認する
例
- 場面
- A={4,5,5,5,6}、B={1,3,5,7,9}を比べる。
- 順に考えると
- どちらも合計25、個数5なので平均は5です。中央値も5です。しかしAは4から6の狭い範囲に集まり、Bは1から9まで広がっています。「典型的な値は5」という点は共通でも、「毎回5に近いか」は異なります。平均だけならこの違いを説明できません。
- ここが結論
- 中心が同じという結論と、散らばりが違うという結論を分けて述べます。
要点
答案では根拠を二つ書く
「平均が同じ」「Bの方が広い」のように、中心と散らばりの根拠を別々に示します。
- 1
代表値の数値を示す
- 2
範囲や図の違いを示す
- 3
何が同じかを限定する
- 4
何が違うかを追加する
要点
中心の指標を分布に合わせて選ぶ
平均は全データを使うため値の変化を反映しやすい一方、極端な値にも動かされます。中央値は並べた中央を示し、極端な値の影響を受けにくい性質があります。どちらか一つを無条件に正解とせず、分布と目的に合わせます。
- 1
平均を使うなら外れた値による変化も確認する
- 2
中央値を使うならデータを小さい順に並べる
- 3
同じ中心でも範囲や四分位範囲が違うことがある
- 4
中心と散らばりを同じ単位で説明する
- 5
図から読んだ特徴と代表値の説明が一致するか確かめる
注意
平均が同じなら同じデータ、ではない
確認
確認テスト
Q1
平均が同じ二つのデータについて、必ず言えることはどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
代表値は分布の中心を示す
- 2
散らばりは別の特徴
- 3
同じ平均でも分布は異なり得る
- 4
図と複数の指標で比較する