イントロ
偏差と分散
平均からの離れ方を一つの数にする
散らばりを測るには、各値が平均からどれだけ離れたかを集めます。正負のずれが打ち消し合わないよう二乗し、その平均を分散にします。
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定義
偏差と分散
- 教科書では
- 偏差は各値と平均の差、分散は偏差を二乗した値の平均です。
- 言いかえると
- 平均より小さい値の偏差は負、大きい値は正になります。偏差をそのまま合計すると必ず0になり、散らばりを測れません。そこで離れた向きではなく大きさを残すために二乗し、全データについて平均します。
公式
分散の定義
偏差
di = xi - xbar
各値xᵢが平均x̄からどちらへどれだけ離れたか。
- xᵢi番目のデータ
- x̄データの平均
- dᵢi番目の偏差
分散
variance = sum(di2)n
偏差の二乗をすべて足し、データの個数nで割る。
解くコツ
平均、偏差、二乗、平均の順を表にして計算します。
手順
分散を求める5段階
- 1
データの平均を求める
- 2
各値から平均を引く
- 3
偏差を二乗する
- 4
二乗した値を合計する
- 5
データの個数で割る
例
- 場面
- データ2、4、6の分散を求める。
- 順に考えると
- 平均は(2+4+6)/3=4です。偏差は-2、0、2で、合計は0になります。偏差の二乗は4、0、4、合計8。個数3で割り、分散は8/3です。偏差の符号は消えますが、平均から2離れた二つの値が散らばりとして反映されます。
- ここが結論
- 分散8/3は0より大きく、三つの値が平均4だけに一致していないことを表します。
要点
計算後の意味を読む
同じ種類・単位のデータなら、分散が大きい方が平均から広く散らばっています。
- 1
分散は0以上
- 2
全値が同じなら分散0
- 3
大きいほど平均から広く離れる
- 4
単位は元データの二乗
要点
分散の計算を三つの性質で検算する
偏差の二乗はすべて0以上なので、分散が負になることはありません。全値が平均と一致するときだけ分散は0です。また元データをすべて同じだけ平行移動しても、平均からの距離は変わらないため分散も変わりません。
- 1
平均との差である偏差を各値について求める
- 2
偏差の合計が0になることを途中確認に使う
- 3
二乗後の値を合計し、このデータの個数で割る
- 4
答えが0以上か、散らばりの見た目と矛盾しないかを見る
- 5
この単元では与えられたデータ全体の分散として個数nで割る
注意
偏差をそのまま平均しない
確認
確認テスト
Q1
偏差を二乗してから平均する主な理由はどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
偏差は値から平均を引く
- 2
偏差和は0になる
- 3
二乗で離れ方の大きさを残す
- 4
偏差²の平均が分散