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三角比の相互関係
3つの比はつながっている
sin、cos、tan は別々の記号ではなく、同じ直角三角形の辺の比です。関係を使うと、1つの値から他の三角比を求められます。
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定義
三角比の相互関係
- 教科書では
- sin、cos、tan の間に成り立つ基本的な関係です。
- 言いかえると
- 斜辺を1とした直角三角形では、対辺が sinA、隣辺が cosA と読めます。三平方の定理から sin²A + cos²A = 1 が成り立ち、tanA は対辺/隣辺として sinA/cosA になります。1つの三角比だけが与えられた問題でも、図に戻すと他の値を求めやすくなります。
公式
三角比の相互関係
1つの値から他の値を求めるときに使います。
tan の関係
tanA = sinAcosA
対辺/隣辺を、sin と cos で表す。
三平方型
sin2A + cos2A = 1
斜辺1の直角三角形で成り立つ。
解くコツ
sin²A は (sinA)² の意味です。
要点
使う前の確認
式だけでなく、直角三角形を思い浮かべると関係が見えます。
- 1
角Aは鋭角として扱う
- 2
2乗を落とさない
- 3
tan は cosA が分母
- 4
図を作ると計算しやすい
例
- 場面
- sinA = 3/5 の鋭角で cosA と tanA を求める。
- 順に考えると
- 対辺を3、斜辺を5とする直角三角形を考えます。三平方の定理で隣辺は4です。したがって cosA = 4/5、tanA = 3/4 です。分母を斜辺として三角形を作ると、分数のまま公式だけで押し切るよりも見通しがよくなります。この方法では、sinA が正の鋭角であることも図から確認できます。
- ここが結論
- 分数だけで処理しにくいときは、辺の長さの比に戻します。
比較
| 式 | 正しい意味 | よくある誤り |
|---|---|---|
| sin²A+cos²A=1 | 2乗の和 | sinA+cosA=1 |
| tanA=sinA/cosA | sin を cos で割る | cos を sin で割る |
| sin²A | (sinA)² | sin(A²) |
式sin²A+cos²A=1
- 正しい意味
- 2乗の和
- よくある誤り
- sinA+cosA=1
式tanA=sinA/cosA
- 正しい意味
- sin を cos で割る
- よくある誤り
- cos を sin で割る
式sin²A
- 正しい意味
- (sinA)²
- よくある誤り
- sin(A²)
記号の位置を落ち着いて読むことが大切です。
注意
sinA + cosA = 1 ではない
要点
相互関係の使いどころ
三角比が1つだけ与えられた問題では、三角形を復元する発想が役立ちます。
- 1
分母を斜辺にできるか見る
- 2
足りない辺を三平方で出す
- 3
tan は対辺/隣辺に戻す
- 4
2乗の公式は符号にも注意する
確認
確認テスト 1
Q1
sinA=3/5 の鋭角で、cosA を求めるときの考え方として適切なのはどれですか。
確認
確認テスト 2
Q1
鋭角Aで sinA=3/5, cosA=4/5 のとき、tanA はどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
tanA は sinA/cosA
- 2
sin²A+cos²A=1
- 3
相互関係は三平方の定理とつながる
- 4
1つの値から三角形を復元できる
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