展開と乗法公式

1 / 13 ブロック8%

イントロ

積の形を和の形に直す

展開は、かっこの積を足し算の形へ広げる操作です。よく出る形は乗法公式で素早く計算できますが、符号と真ん中の項を見落としやすいので注意します。

定義

展開

教科書では: 積の形で表された式を、和の形に直す操作です。
言いかえると: (x+3)² のような式を x²+6x+9 のように直すのが展開です。公式を使う前に、どの型に合うかを確認します。乗法公式は、ただの暗記ではなく、同じ形が何度も出る展開をまとめたものです。面積図で見ると、なぜ中央に2abが現れるかを確認できます。

公式

二次の乗法公式

数学Iでよく使う基本公式を、まず3つに絞って押さえます。

和の平方

(a+b)²=a²+2ab+b²

同じ和を2回掛けると、真ん中に2abの項が出ます。

a,b式や数

使うときのコツ

2abを落とさないようにします。

差の平方

(a-b)²=a²-2ab+b²

差の平方では、真ん中の項がマイナスになります。

a,b式や数

使うときのコツ

最後のb²はプラスです。

和と差の積

(a+b)(a-b)=a²-b²

同じ部分と符号だけ違う部分があると、差の平方になります。

a,b対応する部分

使うときのコツ

真ん中の項は打ち消し合います。

解くコツ

公式を使う前に、かっこの中が同じ型に見えるか、符号が合っているかを確認します。

要点

型を見てから使う

公式は速くする道具ですが、型が合っていない式に無理に当てはめると間違います。

1
(a+b)² は真ん中に2ab
2
(a-b)² は真ん中が-2ab
3
(a+b)(a-b) はa²-b²
4
(x+a)(x+b) は和と積を見る

(a+b)² の面積を a², ab, ab, b² の4領域に分けた図 — 面積モデルでは、(a+b)² が a²、ab、ab、b² の4部分に分かれます。真ん中の 2ab は、ab が2つあることから出てきます。

例

場面: (x+3)² を展開する。
順に考えると: 和の平方の公式で a=x、b=3 と見ます。x²+2·x·3+3² なので、x²+6x+9 です。真ん中の 6x は、x·3 が2つ分ある項です。公式に当てはめる前に、どの部分がaとbかを決めるのが第一歩です。
ここが結論: 公式に入れる前に、aとbが何に対応するかを書き出すと安全です。

比較

式の形	使う公式	注意
(x+3)²	和の平方	真ん中に6x
(x-3)²	差の平方	真ん中は-6x
(x+3)(x-3)	和と差の積	x²-9

式の形(x+3)²

使う公式: 和の平方
注意: 真ん中に6x

式の形(x-3)²

使う公式: 差の平方
注意: 真ん中は-6x

式の形(x+3)(x-3)

使う公式: 和と差の積
注意: x²-9

似た形でも、符号と2乗の位置で結果が変わります。

注意

(a-b)² を a²-b² にしない

要点

公式を使う前の確認

乗法公式は形を見抜く道具です。式全体がどの公式の形になっているかを先に決めます。

1
(a+b)² の形か見る
2
真ん中は 2ab
3
符号がマイナスなら中項に注意
4
展開後に項数を確認する

確認

確認テスト 1

(x-4)² の展開として正しいものはどれですか。

確認

確認テスト 2

(x+3)(x-3) の展開として正しいものはどれですか。

まとめ

1
展開は積の形を和の形に直す
2
乗法公式は型を見て使う
3
平方公式では真ん中の項を落とさない
4
符号の違いで結果が変わる

次に進む

この流れのまま学習を広げる

理解がつながる順で、次のトピックへそのまま進めます。

数と式

因数分解の基本

因数分解を展開の逆操作として捉え、共通因数と二次式の基本公式を整理します。基本例とよくある誤解も確認します。