不等式の意味と解集合

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イントロ

答えは1つではなく範囲になる

方程式では答えが1つの数になることが多いですが、不等式では条件を満たす数の範囲が答えになります。数直線で解集合を見ます。

定義

教科書では: 不等式は大小関係を表す式で、解集合はその不等式を満たす数の集まりです。
言いかえると: x>2 の解は3だけではありません。2より大きいすべての実数が解です。このような範囲を数直線上に表します。不等式の解は、条件を満たす数の集まりです。等式のように1つの数だけを答えるとは限らず、数直線上の範囲として表します。

要点

答えを1つ探す感覚のままだと、不等式の意味を見失いやすくなります。

比較

不等号>

不等号<

不等号≥, ≤

境界を含むかどうかは、数直線で見たときの点の塗り方に現れます。

例

場面: x>2 と x≥2 を比べる。
順に考えると: x>2 は2より大きい数すべてなので、2は含みません。数直線では2を開点にして右側を塗ります。x≥2 は2以上なので、2も含みます。数直線では2を閉点にします。x>2 の解は、2より右側のすべての数です。3だけでなく2.1や10も解なので、答えは範囲で書く必要があります。
ここが結論: 不等号の下の線は、境界を含むサインです。答えを x=3 のように一つだけ書かず、x>2 のような条件や数直線で範囲を示すことが得点につながります。

要点

数直線を描いた後、境界の値を元の不等式へ代入すると端点を含むか確認できます。さらに塗った側から一つ値を選び、条件を満たすかを確かめると矢印の向きも検算できます。

注意

要点

不等式を解いたら、境界の点と矢印の向きを数直線で確認します。

確認

x≤3 を数直線で表すとき、3の点はどうなりますか。

確認

x>-2 を数直線で表すとき、-2の点と塗る向きはどれですか。

まとめ

次に進む

理解がつながる順で、次のトピックへそのまま進めます。

不等式の両辺を操作するときの性質、特に負の数を掛ける・割ると不等号が反転することを整理します。基本例とよくある誤解も確認します。