イントロ
不等式の性質と符号反転
不等号の向きミスを防ぐ
不等式は方程式に似た操作で解けますが、負の数を掛けたり割ったりすると不等号の向きが変わります。ここを図で確認します。
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定義
不等式の性質
- 教科書では
- 大小関係を保ったまま、両辺に同じ操作をするためのルールです。
- 言いかえると
- 同じ数を足す・引く操作では大小の向きは変わりません。正の数を掛ける・割る場合も向きは同じですが、負の数では向きが反転します。不等式では、両辺に同じ正の数を掛けても向きは変わりません。しかし負の数を掛けたり割ったりすると、数直線上で左右が入れ替わるため向きが反転します。
公式
不等式の基本ルール
文字で書くと少し硬く見えますが、正か負かを見るだけです。
同じ数を足す
a<b ⇒ a+c<b+c
両辺に同じ数を足しても大小関係は変わりません。
- c同じ数
使うときのコツ
引き算も同じ考えです。
正の数を掛ける
c>0 なら ac<bc
正の数を掛ける・割ると、不等号の向きはそのままです。
- c正の数
使うときのコツ
2で割るなどはそのままです。
解くコツ
足す・引く、正の数を掛ける・割る操作では、不等号の向きは変えません。
公式
不等号が反転するルール
負の数を掛ける・割るときだけ、不等号の向きを反転します。
負の数を掛ける
c<0 なら ac>bc
負の数を掛ける・割ると、不等号の向きが反転します。
- c負の数
使うときのコツ
-2で割るときは反転します。
解くコツ
掛け算・割り算をしたら、使った数が正か負かを必ず確認します。
要点
操作のあとに符号を見る
不等式を解くときは、移項よりも最後に何で割ったかでミスが出やすいです。
- 1
足す・引くは向きそのまま
- 2
正で割るなら向きそのまま
- 3
負で割るなら向き反転
- 4
最後に数直線で確認する
例
- 場面
- -2x < 6 を解く。
- 順に考えると
- 両辺を -2 で割ります。負の数で割るので、不等号の向きを反転させ、x > -3 となります。もし向きを変え忘れると解の範囲が逆になるため、割る数が負かどうかを操作の直前に確認します。
- ここが結論
- 割った数が負かどうかを最後に確認する習慣が大切です。
比較
| 操作 | 不等号の向き | 例 |
|---|---|---|
| 両辺に3を足す | そのまま | a<b ⇒ a+3<b+3 |
| 両辺を2で割る | そのまま | 2x<6 ⇒ x<3 |
| 両辺を-2で割る | 反転 | -2x<6 ⇒ x>-3 |
操作両辺に3を足す
- 不等号の向き
- そのまま
- 例
- a<b ⇒ a+3<b+3
操作両辺を2で割る
- 不等号の向き
- そのまま
- 例
- 2x<6 ⇒ x<3
操作両辺を-2で割る
- 不等号の向き
- 反転
- 例
- -2x<6 ⇒ x>-3
反転するのは、負の数を掛ける・割る操作のときです。
注意
方程式と同じに扱わない
要点
符号反転の合図
不等式の計算では、両辺に掛けた数・割った数の符号を毎回確認します。
- 1
正の数なら向きはそのまま
- 2
負の数なら不等号を反転
- 3
移項だけでは反転しない
- 4
最後に代入して確かめる
確認
確認テスト 1
Q1
不等号の向きを変える必要がある操作はどれですか。
確認
確認テスト 2
Q1
-2x<6 を解くと、どれになりますか。
まとめ
まとめ
- 1
不等式は大小関係を扱う
- 2
加減では不等号の向きは変わらない
- 3
正の数で掛ける・割ると向きはそのまま
- 4
負の数で掛ける・割ると向きが反転する
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