命題の真偽と反例

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イントロ

例が合うだけでは真とは言えない

数学では、主張がいつも正しいかを確かめます。いくつか例が合っても真とは限らず、偽を示すには反例を1つ見つければ十分です。

定義

教科書では: 正しいか正しくないかが決まる文です。
言いかえると: 『PならばQ』の形では、Pを条件、Qを結論として読みます。条件を満たすのに結論を満たさない例があれば、その命題は偽です。命題の真偽は、条件を満たすものすべてで結論が成り立つかを見て判断します。1つでも反例が見つかれば、その命題は偽です。

要点

命題の真偽では、条件を満たすものだけを調べるのが大切です。

例

場面: 『偶数なら4の倍数である』の真偽を考える。
順に考えると: 2は偶数なので条件を満たします。しかし2は4の倍数ではありません。条件を満たしているのに結論を満たさないので、2は反例です。したがってこの命題は偽です。反例は条件を満たす必要がある点に注意します。
ここが結論: 反例は1つ見つかれば十分です。答案では、数だけでなく『条件は満たすが結論は満たさない』ことを短く添えます。

比較

見つけたもの条件も結論も満たす例

見つけたもの条件を満たし結論を満たさない例

見つけたもの条件を満たさない例

反例は、条件の中から探す必要があります。

注意

要点

反例問題では、結論を破るだけでなく、条件を満たしていることも同時に確認します。

確認

『偶数なら4の倍数である』の反例はどれですか。

確認

命題が偽であることを示す反例の役割として正しいものはどれですか。

まとめ

次に進む

理解がつながる順で、次のトピックへそのまま進めます。

PならばQの向きと集合の包含から、必要条件・十分条件を判定する方法を整理します。基本例とよくある誤解も確認します。