根号を含む式の基本計算

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イントロ

根号を含む式の基本計算

無理数も式として整理する

√12 や √3+2√3 は、そのまま眺めるだけでなく整理できます。乗法と加法で使えるルールが違うことを分けて覚えます。

定義

根号を含む式

教科書では: 平方根を表す記号 √ を含む式です。
言いかえると: 根号を含む式では、根号の中の平方数を外へ出したり、同じ根号をもつ項をまとめたりします。ただし、足し算と掛け算で同じ操作をしてよいわけではありません。根号の中を簡単にする操作と、同類項のようにまとめる操作は別です。先に平方因数を外へ出すと、同じ根号かどうかを判定しやすくなります。

公式

根号計算の基本

まず押さえるのは、積の性質と同じ根号の加減です。

積の性質

√a√b = √ab

平方根どうしの積は、根号の中を掛けた形にできます。

a,b0以上の数

使うときのコツ

乗法では中身をまとめられます。

同じ根号の加減

m√a+n√a=(m+n)√a

同じ根号をもつ項は、係数だけを足し引きできます。

m,n係数
√a共通する根号

使うときのコツ

根号の中が違うとまとめられません。

解くコツ

計算は、根号内を簡単にする、同じ根号か見る、係数をまとめる、の順で進めます。

要点

先に根号内を簡単にする

見た目では違っても、整理すると同じ根号になる場合があります。

1
√12 は 2√3 にできる
2
√3 と 2√3 はまとめられる
3
√2 と √3 はそのまま
4
足し算で根号内を足さない

根号の乗法と加法で使えるルールの違いを並べた図 — 乗法では根号の中をまとめられます。一方、加法では同じ根号をもつ項だけ係数をまとめます。演算の種類で使えるルールが変わります。

例

場面: √12 + √3 を簡単にする。
順に考えると: まず √12 の中にある平方数4を外へ出し、√12=2√3 とします。すると 2√3+√3 となり、同じ根号なので係数を足して 3√3 です。根号の中がそろってからまとめるのがポイントです。
ここが結論: 根号内の整理を先にすると、同じ根号か判断しやすくなります。

比較

式	まとめられるか	理由
√3 + 2√3	できる	根号の中が同じ
√2 + √3	できない	根号の中が違う
√8 + √2	できる	√8=2√2

式√3 + 2√3

まとめられるか: できる
理由: 根号の中が同じ

式√2 + √3

まとめられるか: できない
理由: 根号の中が違う

式√8 + √2

まとめられるか: できる
理由: √8=2√2

根号の中を簡単にしてから、同じ種類の項かを判断します。

注意

√2+√3 を √5 にしない

要点

根号計算の順番

根号を含む式では、いきなり足し算を処理せず、まず各項を簡単な形へそろえます。

1
平方因数を外に出す
2
同じ根号の項を探す
3
違う根号は無理に足さない
4
最後に係数を整理する

確認

確認テスト 1

次のうち、正しい変形はどれですか。

確認

確認テスト 2

√50 を簡単にするとどれですか。

まとめ

1
根号内の平方因数を外へ出す
2
同じ根号だけ係数をまとめる
3
加法と乗法のルールを混同しない
4
迷ったら先に根号内を簡単にする

次に進む

この流れのまま学習を広げる

理解がつながる順で、次のトピックへそのまま進めます。

数と式

分母の有理化

分数の値を変えずに、分母から根号をなくす有理化の基本を整理します。基本例とよくある誤解も確認します。