イントロ
共通部分・和集合・補集合
条件のかつ・またはを図で見る
集合の記号は、条件の組み合わせを短く表します。A∩B、A∪B、補集合を、日本語とベン図に直して読めるようにします。
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定義
集合演算
- 教科書では
- 集合どうしを組み合わせて、新しい集合を作る操作です。
- 言いかえると
- A∩B はAとBの両方に入るもの、A∪B は少なくとも一方に入るもの、補集合は全体の中でその集合に入らないものを表します。集合の記号は、図のどの部分を選ぶかを表しています。言葉、記号、ベン図を対応させると、計算問題でも領域を読み間違えにくくなります。
比較
| 記号 | 日本語 | ベン図で見る場所 |
|---|---|---|
| A∩B | AかつB | 重なった部分 |
| A∪B | AまたはB | どちらかに入る部分 |
| Aの補集合 | Aでない | 全体からAを除いた部分 |
記号A∩B
- 日本語
- AかつB
- ベン図で見る場所
- 重なった部分
記号A∪B
- 日本語
- AまたはB
- ベン図で見る場所
- どちらかに入る部分
記号Aの補集合
- 日本語
- Aでない
- ベン図で見る場所
- 全体からAを除いた部分
まず日本語に直すと、どこを見ればよいかがはっきりします。
要点
記号を日本語に直す
式のまま見るより、条件の言葉に直すとベン図で範囲を探しやすくなります。
- 1
∩ は『両方』
- 2
∪ は『少なくとも一方』
- 3
補集合は『そうでない』
- 4
全体集合の範囲も確認する
手順
集合演算を読む手順
- 1
全体集合を確認する
- 2
AとBの範囲を図にする
- 3
記号を日本語に直す
- 4
該当する部分だけを選ぶ
例
- 場面
- A={1,2,3}, B={3,4} で A∩B と A∪B を求める。
- 順に考えると
- AとBの両方に入るものは3だけなので、A∩B={3} です。少なくとも一方に入るものは1,2,3,4なので、A∪B={1,2,3,4} です。3を2回書かないことにも注意します。A∩B は両方に入る要素だけ、A∪B は少なくとも一方に入る要素です。『または』の読み方を日常語の感覚だけで処理しないようにします。
- ここが結論
- 和集合は足し算ではなく、条件を満たす要素を集める操作です。
注意
和集合で重複を2回数えない
要点
ベン図での確認
集合計算で迷ったら、記号を日本語に直してから、ベン図のどこを塗るかを決めます。
- 1
∩ は重なりだけ
- 2
∪ は合わせた範囲
- 3
補集合は全体集合の中で考える
- 4
最後に条件文へ戻す
確認
確認テスト 1
Q1
A∩B が表す範囲として正しいものはどれですか。
確認
確認テスト 2
Q1
A={1,2,3}, B={2,3,4} のとき、A∪B はどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
∩ は両方に入る共通部分
- 2
∪ は少なくとも一方に入る和集合
- 3
補集合は全体の中で入らない部分
- 4
記号は日本語とベン図に直して読む
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