イントロ
平方完成で軸と頂点を読む
見えない頂点を式変形で取り出す
一般形では頂点の位置がすぐには見えません。平方完成で二乗のまとまりを作ると、式の値を変えずに頂点形式へ直せます。
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定義
平方完成
- 教科書では
- 二次式を、ある一次式の平方と定数の和に変形することです。
- 言いかえると
- x²+bxのxの係数を半分にすると、平方の形を作れます。ただし括弧の中へ数を加えると式の値が変わるため、同じ量を外側で引いて調整します。目的は計算を飾ることではなく、軸と頂点が見える形にすることです。
公式
平方の形を作る関係
基本関係
x2 + 2px = (x + p)2 - p2
xの係数2pの半分pを括弧へ入れ、増えたp²を外で引く。
- 2pxの係数
- pxの係数の半分
解くコツ
変形後を展開し、元の式へ戻るか必ず確認します。
手順
平方完成の手順
- 1
x²の係数を1にそろえる
- 2
xの係数の半分を括弧へ入れる
- 3
加わった平方を外で差し引く
- 4
定数を整理して頂点を読む
例
- 場面
- y=x²-4x+1の軸と頂点を求める。
- 順に考えると
- x²-4xは、-4の半分-2を使って(x-2)²-4です。したがって y=(x-2)²-4+1=(x-2)²-3。括弧内が0になるx=2で最小となり、軸はx=2、頂点は(2,-3)です。展開するとx²-4x+4-3=x²-4x+1となり、元へ戻ります。
- ここが結論
- 平方完成の答えは、軸と頂点を読んで初めてグラフの情報になります。
要点
検算までを一つの手順にする
符号や定数のずれは、変形後を展開すれば発見できます。
- 1
括弧内の数はx係数の半分
- 2
平方で増えた定数を戻す
- 3
最後に定数をまとめる
- 4
展開して元の一般形へ戻す
要点
等しい式を保つ理由を言葉にする
平方完成では、都合よく定数を追加してよいのではありません。括弧の平方を作るために加えた量と同じ量を引くので、式全体の値が変わらないのです。この釣り合いを一行ごとに確かめ、等号の左右がすべてのxで一致する変形にします。
- 1
xの係数を2pと見て、その半分pを決める
- 2
(x+p)²を展開したとき増えるp²を確認する
- 3
外側でp²を引き、元の式と同値に保つ
- 4
残った定数をまとめて頂点のy座標を読む
- 5
最後に展開し、x²・x・定数の三つの係数を照合する
注意
括弧を作っただけで終わらない
確認
確認テスト
Q1
y=x²+6x+2を平方完成した式はどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
xの係数の半分で平方を作る
- 2
増えた定数を外で戻す
- 3
頂点形式から軸と頂点を読む
- 4
展開で変形を検算する