イントロ
定義域・値域とグラフ
放物線の全部ではなく、使う部分を見る
同じ二次関数でも、xに許された範囲が変われば現れるyの範囲も変わります。グラフを必要な部分だけ切り出すと、値域を目で確認できます。
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定義
定義域と値域
- 教科書では
- 定義域はxが取り得る範囲、値域はそのxに対応してyが実際に取る範囲です。
- 言いかえると
- 定義域を数直線上だけで見るのではなく、両端のxからグラフへ縦線を上げ、その間の曲線を選びます。次に選んだ曲線をy軸へ横に投影すると、最も低いyから最も高いyまでが値域として見えます。
手順
値域を読む順番
- 1
定義域の両端をx軸に置く
- 2
対応する曲線部分を切り出す
- 3
頂点がその範囲内か確認する
- 4
曲線の最低・最高のyを読む
要点
定義域は条件、値域は結果
xとyの不等式を同じ数字で写すのではなく、関数を通した結果として値域を求めます。
- 1
定義域はxについて書く
- 2
値域はyについて書く
- 3
頂点が範囲内なら候補になる
- 4
端点を含む記号も確認する
例
- 場面
- y=(x-1)²-2で、定義域を-1≤x≤3とする。
- 順に考えると
- 軸はx=1、頂点は(1,-2)で、頂点は定義域内です。x=-1とx=3ではどちらもy=2です。区間内の曲線は頂点で最も低く、両端で最も高いので、値域は-2≤y≤2です。xの端が-1と3だからといって、yも同じ範囲になるわけではありません。
- ここが結論
- 定義域を曲線へ写し、その曲線の上下端を読むと値域が決まります。
比較
| 見るもの | 問い | 今回の例 |
|---|---|---|
| 定義域 | どのxを使うか | -1≤x≤3 |
| 選ぶ曲線 | どの部分を見るか | x=-1から3 |
| 値域 | どのyが出るか | -2≤y≤2 |
見るもの定義域
- 問い
- どのxを使うか
- 今回の例
- -1≤x≤3
見るもの選ぶ曲線
- 問い
- どの部分を見るか
- 今回の例
- x=-1から3
見るもの値域
- 問い
- どのyが出るか
- 今回の例
- -2≤y≤2
入力の範囲と出力の範囲を、関数のグラフがつないでいます。
要点
値域の端がどこから来たか示す
値域の上下端は、定義域の端点または区間内の頂点の値から生じます。グラフを眺めて答えるだけでなく、候補となるxと対応するyを組で書くと、最大値・最小値を取り違えにくくなります。
- 1
左右の端点を式へ代入して高さを求める
- 2
軸のx座標が定義域内かを不等式で確認する
- 3
区間内なら頂点の高さも候補へ加える
- 4
候補のyを比較して最小値と最大値を決める
- 5
開区間では端の値を実際に取るかを別に判断する
注意
グラフ全体の値域を答えない
確認
確認テスト
Q1
y=x²、定義域-2≤x≤1の値域はどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
定義域は使うxの範囲
- 2
対応する曲線だけを切り出す
- 3
値域は曲線が取るyの範囲
- 4
頂点と端点を候補にする