二次関数の最大値・最小値

イントロ

最大値・最小値の基本

頂点が山頂か谷底かを見る

放物線の頂点は、上へ開けば最も低い谷底、下へ開けば最も高い山頂です。開く向きと頂点を組にすると、最大・最小を迷わず読めます。

定義

教科書では: 関数が取る値のうち最も大きいものを最大値、最も小さいものを最小値といいます。
言いかえると: 定義域が全実数なら、上へ開く放物線は頂点から上へどこまでも続くので最小値だけをもち、最大値はありません。下へ開く場合は逆で、頂点で最大値をもち、最小値はありません。

公式

頂点形式

y = a(x - p)² + q

頂点は(p,q)。a>0なら最小値q、a<0なら最大値q。

解くコツ

aの符号を見てから、頂点のy座標qを答えます。

要点

「値」と「そのときのx」は別の量なので、両方を明確にします。

例

場面: y=-2(x+1)²+5の最大値・最小値を調べる。
順に考えると: a=-2<0なので放物線は下へ開きます。頂点は(-1,5)だから、x=-1のとき最大値5を取ります。xが頂点から離れるほど二乗部分が増え、それに-2を掛けるためyは小さくなり続けます。したがって定義域が全実数なら最小値はありません。
ここが結論: 最大値は5、そのときx=-1。最小値はありません。

要点

上に開く放物線は頂点より下へ行かないため最小値を取りますが、左右へ進むとyはいくらでも大きくなるため最大値を取りません。下に開く場合は反対です。「見えている図の端」を最大・最小と考えないことが重要です。グラフ表示の範囲と定義域の範囲は別物です。

注意

確認

Q1

y=3(x-2)²-4を全実数で考えた説明として正しいものはどれですか。

まとめ

閉区間に限られた二次関数で、頂点が範囲内かを確認し、頂点と端点の値を比べて最大値・最小値を求めます。