イントロ
区間での最大値・最小値
頂点だけでなく、両端も候補にする
使えるxが区間に限られると、放物線の一部分だけを比べます。頂点が範囲内なら頂点を、さらに両端を候補にして値を確かめます。
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定義
閉区間上の最大・最小
- 教科書では
- 両端を含む定義域の中で、関数が取る最も大きい値と最も小さい値です。
- 言いかえると
- 放物線全体の頂点が区間外なら、その頂点は今回の候補にはなりません。区間内で曲線の向きが変わる頂点と、切り取った曲線の両端を調べます。xの大小ではなく、各候補を代入したyの大小を比べることが重要です。
手順
3段階の判断
- 1
平方完成して頂点のxを求める
- 2
頂点が定義域内か確認する
- 3
有効な頂点と両端へ代入する
- 4
yの値を比べて最大・最小を決める
要点
候補を先に一覧にする
計算を始める前に、調べるxを列挙すると抜けを防げます。
- 1
左端は必ず候補
- 2
右端も必ず候補
- 3
区間内の頂点を加える
- 4
区間外の頂点は使わない
例
- 場面
- y=(x-1)²-2を、-1≤x≤2で考える。
- 順に考えると
- 頂点のx=1は区間内です。候補はx=-1、1、2。代入するとyは順に2、-2、-1です。最も大きい2はx=-1で、最も小さい-2はx=1で取ります。右端x=2は最大でも最小でもありませんが、計算して比べるまでは候補から外せません。
- ここが結論
- 最大値2（x=-1）、最小値-2（x=1）です。
比較
| 頂点の位置 | 調べる候補 | 判断 |
|---|---|---|
| 区間内 | 頂点と両端 | 3点のyを比較 |
| 区間外 | 両端 | 区間では一方向に変化 |
| 端点上 | その頂点と反対端 | 同じ点を重複しない |
頂点の位置区間内
- 調べる候補
- 頂点と両端
- 判断
- 3点のyを比較
頂点の位置区間外
- 調べる候補
- 両端
- 判断
- 区間では一方向に変化
頂点の位置端点上
- 調べる候補
- その頂点と反対端
- 判断
- 同じ点を重複しない
頂点がどこにあるかで候補数は変わりますが、両端は常に確認します。
要点
三候補で足りる理由
放物線は軸へ近づく側では一方向に変化し、軸を越えると変化の向きが反対になります。そのため閉区間では、途中で折り返す頂点と、区間を終える左右の端点を調べれば上下端を捉えられます。図の外側の曲線は今回の比較対象へ入れません。
- 1
頂点が区間内なら左端・頂点・右端を比べる
- 2
頂点が区間外なら区間内で単調なので両端を比べる
- 3
候補ごとにxとyを表にして計算漏れを防ぐ
- 4
最大値・最小値と、それを取るxを対応させる
- 5
閉区間の≤は端点を含むことを答案にも反映する
注意
端点のxを最大値と呼ばない
確認
確認テスト
Q1
y=(x-2)²+1を0≤x≤4で調べるとき、比較すべきxはどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
区間内の曲線だけを見る
- 2
頂点が範囲内か確認する
- 3
頂点と両端のyを比較する
- 4
値とそのときのxを分けて答える