イントロ
条件から式を決める
分かっている情報が見える形を選ぶ
同じ二次関数でも、頂点形式・一般形・因数の形で見えやすい情報が違います。条件に合う形から始めると、未知数を減らして式を決められます。
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定義
二次関数の決定
- 教科書では
- グラフの頂点、軸、通る点、x切片などの条件から係数を求め、関数の式を定めることです。
- 言いかえると
- 頂点が分かるなら y=a(x-p)²+q にそのまま入れられます。一般形からa、b、cを全部求めることもできますが、未知数が増えます。最初に条件が直接見える形を選ぶことが、計算を短くして検算しやすくする判断です。
比較
| 分かる条件 | 選びやすい形 | 残る未知数 |
|---|---|---|
| 頂点と1点 | a(x-p)²+q | aだけ |
| 3点 | ax²+bx+c | a,b,c |
| 2つのx切片と1点 | a(x-r)(x-s) | aだけ |
分かる条件頂点と1点
- 選びやすい形
- a(x-p)²+q
- 残る未知数
- aだけ
分かる条件3点
- 選びやすい形
- ax²+bx+c
- 残る未知数
- a,b,c
分かる条件2つのx切片と1点
- 選びやすい形
- a(x-r)(x-s)
- 残る未知数
- aだけ
式の形は答えを変えず、与えられた情報の見え方だけを変えます。
手順
式を決める手順
- 1
条件に合う式形を選ぶ
- 2
既知の頂点・切片を入れる
- 3
通る点の座標を代入する
- 4
係数を求め全条件で検算する
公式
条件に合う三つの形
頂点形式
y = a(x - p)2 + q
頂点(p,q)が分かるときに使いやすい。
一般形
y = ax2 + bx + c
三つの点などから係数を求めるときに使える。
因数の形
y = a(x - r)(x - s)
x切片r,sが分かるときに使いやすい。
解くコツ
未知数が最も少なくなる形を選びます。
例
- 場面
- 頂点(2,-1)をもち、点(0,7)を通る二次関数を求める。
- 順に考えると
- 頂点が分かるので y=a(x-2)²-1 と置きます。点(0,7)を代入すると、7=4a-1。よって4a=8からa=2です。したがって y=2(x-2)²-1。頂点を代入すると-1、点(0,7)も満たすので、二つの条件を両方確認できます。
- ここが結論
- 最初から一般形を置くより、未知数aだけで決められます。
要点
求めた式をすべての条件へ戻す
一つの条件からaを決めても、途中の符号や代入を誤ることがあります。完成した式には、頂点・通る点・x切片など問題文の条件を一つずつ戻し、同時に満たすことを確認します。
- 1
頂点形式ならx=pを代入してy=qになるかを見る
- 2
一般形なら与えられた三点をすべて代入する
- 3
因数の形ならx=αとx=βでy=0になるかを見る
- 4
a=0になった場合は二次関数という条件に反する
- 5
展開した形と選んだ形を往復して係数も照合する
注意
求めた係数だけで終わらない
確認
確認テスト
Q1
頂点(3,2)と通る1点が分かるとき、最初に置くとよい式はどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
条件が見える式形を選ぶ
- 2
頂点・切片を先に入れる
- 3
通る点で残る係数を求める
- 4
完成後に全条件を検算する