イントロ
二次方程式とx軸の交点
方程式の解をグラフ上の場所にする
f(x)=0を解くことは、グラフy=f(x)で高さyが0になる場所を探すことです。計算で得た解とx軸の交点は、同じ情報を表しています。
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定義
x軸との交点
- 教科書では
- グラフ上でy=0となる点で、そのx座標は方程式f(x)=0の実数解です。
- 言いかえると
- 放物線がx軸を2回横切れば異なる実数解が2個、頂点などで接すれば重なった実数解が1個、交わらなければ実数解はありません。方程式の答えを数だけで終えず、グラフ上の位置として見ると個数の意味が分かります。
公式
交点数を判別式で確かめる
判別式
D = b2 - 4ac
ax²+bx+c=0の実数解の個数を表す補助量。
- D>0異なる実数解が2個
- D=0重なった実数解が1個
- D<0実数解がない
解くコツ
判別式の符号を、必ず放物線とx軸の位置関係へ戻します。
要点
式と図を往復する
解法が因数分解でも解の公式でも、得た解の意味は交点のx座標です。
- 1
f(x)=0はy=0の場所
- 2
解x=rは交点(r,0)
- 3
重解はx軸に接する
- 4
判別式は交点数を数える
例
- 場面
- y=x²-4x+3とx軸の交点を求める。
- 順に考えると
- x²-4x+3=(x-1)(x-3)なので、y=0となるのはx=1,3です。したがって交点は(1,0)と(3,0)。平方完成するとy=(x-2)²-1で、頂点がx軸より下にあり、上向きの放物線が左右でx軸を横切ることとも一致します。
- ここが結論
- 方程式の解1,3と、グラフの交点のx座標1,3は同じ情報です。
比較
| グラフの状態 | 実数解 | 判別式 |
|---|---|---|
| x軸を2回横切る | 2個 | D>0 |
| x軸に接する | 1個（重解） | D=0 |
| x軸と交わらない | 0個 | D<0 |
グラフの状態x軸を2回横切る
- 実数解
- 2個
- 判別式
- D>0
グラフの状態x軸に接する
- 実数解
- 1個（重解）
- 判別式
- D=0
グラフの状態x軸と交わらない
- 実数解
- 0個
- 判別式
- D<0
計算・グラフ・判別式の三つを同じ状態として対応させます。
要点
解の値と解の個数を分ける
因数分解や解の公式は交点のx座標そのものを求め、判別式は実数解の個数を先に判定します。問われているのが座標か個数かを確認し、必要な情報まで答えます。
- 1
D>0なら異なる二つの実数解で交点は2個
- 2
D=0なら重解で放物線はx軸に接する
- 3
D<0なら実数解がなくx軸と交わらない
- 4
解x=rを交点として書くときは座標(r,0)にする
- 5
得た解を元の式へ代入し本当にy=0かを確かめる
注意
解は交点のx座標
確認
確認テスト
Q1
放物線がx軸に1点で接しているとき、対応する二次方程式の実数解はどうなりますか。
まとめ
まとめ
- 1
f(x)=0はx軸との交点を探す
- 2
解は交点のx座標
- 3
交点数と実数解数は一致
- 4
判別式をグラフ像へ戻す