イントロ
グラフで解く二次不等式
式の正負をx軸の上・下として見る
f(x)>0は、グラフy=f(x)の高さが0より上という意味です。交点で範囲を区切り、放物線が上か下かを見れば解集合を読めます。
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定義
二次不等式のグラフ解釈
- 教科書では
- 二次式f(x)の正負を、グラフy=f(x)とx軸の上下関係で判断することです。
- 言いかえると
- まずf(x)=0を解いて、符号が切り替わる候補となるx軸との交点を求めます。次に放物線の開く向きを描き、不等号が求めるのは上側か下側かを選びます。等号が付けば交点を含み、付かなければ含みません。
手順
解く順番
- 1
f(x)=0を解いて境界を求める
- 2
放物線の開く向きを確認する
- 3
x軸の上か下かを選ぶ
- 4
等号の有無を端点へ反映する
要点
不等号を高さの言葉へ直す
内側・外側を暗記せず、グラフの高さとして読みます。
- 1
f(x)>0はx軸より上
- 2
f(x)<0はx軸より下
- 3
f(x)=0は交点
- 4
≤や≥なら境界を含む
例
- 場面
- x²-5x+6≤0をグラフで解く。
- 順に考えると
- 因数分解すると(x-2)(x-3)=0なので境界はx=2,3です。x²の係数が正だから放物線は上へ開き、交点の間ではx軸より下、外側では上です。求めるのは0以下なので内側を選び、等号があるため両端を含めて2≤x≤3となります。
- ここが結論
- 境界、開く向き、上か下、等号の順に読めば暗記に頼らず解けます。
比較
| 不等式 | 見る場所 | 境界 |
|---|---|---|
| f(x)>0 | x軸より上 | 含まない |
| f(x)<0 | x軸より下 | 含まない |
| f(x)≥0 / ≤0 | 上 / 下 | 含む |
不等式f(x)>0
- 見る場所
- x軸より上
- 境界
- 含まない
不等式f(x)<0
- 見る場所
- x軸より下
- 境界
- 含まない
不等式f(x)≥0 / ≤0
- 見る場所
- 上 / 下
- 境界
- 含む
解集合の内側・外側は放物線の向きで変わるため、上下で判断します。
要点
区間ごとの符号を一点で確かめる
交点で数直線を区切った後、グラフの形が不安なら各区間からxを一つ選び、f(x)の符号を代入で確認できます。図と式の二つの根拠が一致すれば、内側・外側の取り違えを防げます。最後に解を数直線へ戻し、境界の白丸・黒丸も確認します。
- 1
まずf(x)=0を解いて符号が変わり得る境界を置く
- 2
各区間の代表値を一つだけ代入して正負を調べる
- 3
求める不等号が正ならx軸より上の区間を選ぶ
- 4
負ならx軸より下の区間を選ぶ
- 5
≤や≥は交点を含み、<や>は交点を含まない
注意
内側・外側を式だけで暗記しない
確認
確認テスト
Q1
上向きの放物線がx=1,4でx軸と交わるとき、f(x)<0の範囲はどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
方程式で境界を求める
- 2
放物線の向きを描く
- 3
正は上、負は下を選ぶ
- 4
等号で境界の包含を決める