イントロ
二次関数で事象を捉える
場面を式にし、答えを場面へ戻す
二次関数はグラフを描くためだけの式ではありません。変化する二つの量を決め、条件を式にすると、面積などの最大・最小を根拠付きで考えられます。
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定義
数学的なモデル化
- 教科書では
- 事象から重要な数量と条件を取り出し、式・表・グラフで表して考えることです。
- 言いかえると
- 現実のすべてを式へ入れるのではなく、問いに必要な量をxとyにし、単位と取り得る範囲を決めます。計算後は、得たxやyが何を表すか、現実の条件を満たすかを確認します。解決の前後を往復することがモデル化です。
手順
事象を解く6つの確認
- 1
求めたい量を決める
- 2
変化する量をxと置く
- 3
単位と範囲を決める
- 4
二つの量の関係を式にする
- 5
グラフで最大・最小を求める
- 6
結果を場面の言葉へ戻す
公式
長方形の面積モデル
周が20mの長方形
S = x(10 - x)
一辺をx mとすると、隣の辺は10-x m、面積Sは二辺の積。
- x一方の辺の長さ（m）
- S長方形の面積（m²）
使うときのコツ
長さなので0<x<10。
解くコツ
式より先に、二辺の和が10mになる理由と定義域を書きます。
例
- 場面
- 20mの柵で長方形を囲むとき、面積を最大にする辺を求める。
- 順に考えると
- 一辺をx mとすると、周が2x+2y=20だから隣の辺は10-x mです。面積はS=x(10-x)=-x²+10x=-(x-5)²+25。0<x<10の範囲で頂点x=5を使え、最大面積は25m²です。隣の辺も5mなので正方形になります。
- ここが結論
- 最大面積25m²は、辺が5mと5mのときに得られます。
要点
答えを二段階で書く
数学上の頂点と、場面で問われた量を区別します。
- 1
x=5は辺の長さ
- 2
S=25は面積
- 3
単位はmとm²で異なる
- 4
定義域内か必ず確認する
要点
最大値が場面で実現できるか検算する
式の頂点が求まっても、そのxが変数の範囲外なら場面の答えには使えません。また長さを問うのか面積を問うのかで答える量も変わります。数値、単位、元の条件を逆向きにたどります。
- 1
変数xの意味と0<x<10という範囲を式より先に決める
- 2
頂点x=5が範囲内なので最大候補として使える
- 3
隣の辺10−xも正で5mになることを確かめる
- 4
周が2×5+2×5=20mで元の条件を満たすかを見る
- 5
問われた最大面積は25m²と平方単位で答える
注意
頂点の座標をそのまま答えない
確認
確認テスト
Q1
S=x(10-x)で長方形の面積を表すとき、xの現実的な範囲はどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
変数・単位・範囲を先に決める
- 2
二つの量の関係を式にする
- 3
グラフで最大・最小を判断する
- 4
答えを現実の意味へ戻す