y=ax² のグラフ

イントロ

係数aで放物線の姿が決まる

同じxを入れても、係数aが変わるとyの大きさと符号が変わります。点を打って比べると、放物線の向きと広がりを式から予想できます。

定義

教科書では: y=ax²のグラフのように、一本の軸に対して左右対称な曲線です。
言いかえると: y=ax²ではxと-xを二乗すると同じ値になるため、グラフはy軸について対称です。x=0でy=0となるので頂点は原点、軸はx=0です。aの符号は上下の向き、絶対値は同じxに対するyの大きさを決めます。

公式

基本形

y = ax²

a>0なら上へ、a<0なら下へ開く。|a|が大きいほど同じxで|y|が大きい。

解くコツ

符号で上下、絶対値で広がりを分けて読みます。

要点

曲線の形を勘で描かず、対称な点を表から作ります。

例

場面: y=x²とy=2x²を、x=-2,-1,0,1,2で比べる。
順に考えると: y=x²の値は4,1,0,1,4、y=2x²の値は8,2,0,2,8です。どちらも原点を頂点に上へ開きますが、y=2x²は同じxでyが2倍です。そのため点がy軸の近くを通り、見た目はより細くなります。xと-xで値が同じことから対称性も確認できます。
ここが結論: |a|が大きいほど「横に広い」のではなく、同じ高さに対する横幅が狭くなります。

要点

放物線の幅は印象だけで決めず、同じxまたは同じyで座標を比べます。たとえばx=1ならy=aなので、|a|が大きいほど原点から縦に遠い点を通ります。逆に同じ高さまで進む横幅は狭く見えます。縦横の目盛りが同じグラフ上で比較することが前提です。

注意

確認

Q1

y=-3x²のグラフの説明として正しいものはどれですか。

まとめ

y=a(x-p)²+qから軸と頂点を読み、基本の放物線を左右・上下へ平行移動してグラフを描く方法を整理します。

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