イントロ
頂点形式と平行移動
式から放物線の住所を読む
放物線の形を一から点で描かなくても、頂点と軸が分かれば概形を決められます。頂点形式は、基本の放物線をどこへ動かしたかを示す地図です。
1 / 12 ブロック8%
上下にスクロールするかキーボードの上下キーを使うと、次の学習カードへ進めます。
定義
頂点形式
- 教科書では
- 二次関数を y=a(x-p)²+q と表し、軸と頂点を直接読める形です。
- 言いかえると
- (x-p)²が最小の0になるのはx=pです。そのときy=qなので頂点は(p,q)、左右対称の中心となる軸はx=pです。括弧内の符号を見た目で逆にするのではなく、「括弧の中が0になるx」を探すと安全です。
公式
頂点形式の読み方
頂点形式
y = a(x - p)2 + q
y=ax²をx方向にp、y方向にqだけ平行移動した形。
- a開く向きと広がり
- p頂点のx座標
- q頂点のy座標
使うときのコツ
軸はx=p、頂点は(p,q)。
解くコツ
括弧内を0にするxを求め、そのときのyを読む順にします。
手順
式からグラフを描く順番
- 1
aの符号で開く向きを決める
- 2
x-p=0から軸x=pを読む
- 3
頂点(p,q)を打つ
- 4
頂点の左右に対称な点を加える
例
- 場面
- y=2(x-3)²-1の軸・頂点・開く向きを読む。
- 順に考えると
- x-3=0となるのはx=3なので軸はx=3です。そのとき二乗部分は0となり、y=-1だから頂点は(3,-1)です。a=2>0なので上へ開き、y=2x²と同じ広がりをもちます。例えばx=2とx=4ではどちらもy=1となり、軸の左右で対称です。
- ここが結論
- 頂点(3,-1)を先に置き、左右対称な点を加えると概形を安定して描けます。
比較
| 式の部分 | グラフでの役割 | 確認方法 |
|---|---|---|
| a | 向きと広がり | 正負と絶対値 |
| x-p | 横の移動 | 括弧内を0にする |
| +q | 縦の移動 | 頂点のy座標 |
式の部分a
- グラフでの役割
- 向きと広がり
- 確認方法
- 正負と絶対値
式の部分x-p
- グラフでの役割
- 横の移動
- 確認方法
- 括弧内を0にする
式の部分+q
- グラフでの役割
- 縦の移動
- 確認方法
- 頂点のy座標
横だけは括弧内の見た目と移動方向が逆に感じやすいため、0になるxで確認します。
要点
頂点と形を分けて確認する
pとqは頂点の位置を決めますが、aは放物線の向きと幅を決めます。頂点だけが同じでもaが異なれば別のグラフです。基準のy=ax²から何が変わり、何が保たれるかを分けて読みます。
- 1
x−p=0を解いて頂点のx座標pを確認する
- 2
そのxを代入して頂点のy座標qを確認する
- 3
aの符号から開く向きを付け加える
- 4
|a|から基準の放物線より広いか狭いかを読む
- 5
頂点の左右に等距離の点を一組取り対称性を検算する
注意
x-3を左へ3と読まない
確認
確認テスト
Q1
y=-2(x+4)²+3の頂点はどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
頂点形式は移動を示す
- 2
頂点は(p,q)、軸はx=p
- 3
括弧内を0にして横位置を確認
- 4
aは向きと広がりを保つ