二次関数と二つの数量

イントロ

式の前に、何が何で決まるかを見る

一辺を決めると正方形の面積が決まるように、二つの数量には対応があります。二次関数は、その対応を二次式で表して変化を調べる道具です。

定義

教科書では: xの値を決めるとyの値が一つに決まり、yがxの二次式で表される関数です。
言いかえると: 代表的な形は y=ax²+bx+c で、aは0ではありません。大切なのはx²という記号を見つけるだけではなく、xを何の量、yを何の量としているかを読むことです。長さや時間には現実に取り得る範囲があるので、式と一緒に条件も確認します。

要点

式、表、場面は同じ関係の別の表し方です。一つだけで判断せず往復します。

公式

二次の項が残る関数を扱います。

一般形

y = ax² + bx + c

a、b、cは定数で、aは0ではない。xを入れるとyが一つ決まる。

解くコツ

場面では、まずxとyの意味を書いてから式へ代入します。

例

場面: 一辺がx cmの正方形の面積をy cm²とする。
順に考えると: 面積は一辺×一辺なので y=x² です。x=1ならy=1、x=2ならy=4、x=3ならy=9となります。xを1増やしたときのyの増加は3、5と変わるため、一定の割合で増える一次関数とは違います。また一辺の長さなので、現実の範囲はx>0です。
ここが結論: 式だけでなく、表の変化とxの意味まで読むと、二次関数としての特徴が見えます。

要点

同じ二次式でも、場面によって使えるxの範囲と単位が変わります。正方形の一辺ならxは正で、面積yは0より大きく、xがcmならyはcm²です。式が計算できる値と、場面で意味をもつ値を区別します。

注意

確認

Q1

xを入力、yを出力とするとき、二次関数であるものはどれですか。

まとめ

原点を頂点とする放物線を表から描き、係数aの符号と絶対値が開く向き・広がりに与える影響を整理します。

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