イントロ
曲線とx軸の間の面積
定積分の符号を、図形の面積へ読み替える
定積分はx軸より上の部分を正、下の部分を負として足す符号付き面積です。図形としての面積を求めるときは、下側の積分値の符号を反転します。
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定義
符号付き面積
- 教科書では
- 関数のグラフとx軸の間を、x軸より上では正、下では負として数えた値です。
- 言いかえると
- 定積分の値が負でも、図形の広さが負という意味ではありません。関数がx軸を横切るとき、正の部分と負の部分は定積分では打ち消し合います。実際の面積なら、それぞれを正の値に直して足します。
公式
x軸の上下で面積式を変える
グラフがx軸以上
S=∫ab f(x)dx （f(x)≥0）
定積分の値がそのまま図形の面積になる。
- S図形としての面積
- a,b領域の左右の端
使うときのコツ
先に区間内でfの符号を確認する
グラフがx軸以下
S=−∫ab f(x)dx （f(x)≤0）
負の定積分値の符号を反転して正の面積にする。
- −x軸下側の符号を面積用に反転
使うときのコツ
絶対値を付ける前に、交点で区間を分ける
解くコツ
x軸との交点を求め、区間ごとのグラフの上下を確認し、上側は∫f、下側は−∫fとして正の面積を足します。
手順
x軸との間の面積を求める手順
- 1
f(x)=0を解き、積分区間内のx軸との交点を求める
- 2
端点と交点で積分区間を分ける
- 3
各区間でグラフがx軸の上か下かを確認する
- 4
上側は∫f(x)dx、下側は−∫f(x)dxと置く
- 5
各区間の正の面積を足し、単位を二乗で表す
比較
| 求めるもの | x軸下側の扱い | 結果 |
|---|---|---|
| 定積分の値 | 負のまま数える | 正負が相殺することがある |
| 図形の面積 | 符号を反転する | 各部分を0以上で足す |
| 常にx軸上の領域 | 反転不要 | 定積分と面積が一致 |
求めるもの定積分の値
- x軸下側の扱い
- 負のまま数える
- 結果
- 正負が相殺することがある
求めるもの図形の面積
- x軸下側の扱い
- 符号を反転する
- 結果
- 各部分を0以上で足す
求めるもの常にx軸上の領域
- x軸下側の扱い
- 反転不要
- 結果
- 定積分と面積が一致
問題が「定積分の値」か「図形の面積」かを読み分けます。面積では、グラフの上下を図で確かめてから式を作ります。
例
- 場面
- y=x−1とx軸の間で、0≤x≤2にある部分の面積を求める。
- 順に考えると
- x−1=0より交点はx=1です。0≤x≤1ではx−1≤0なので−∫01(x−1)dx=1/2、1≤x≤2ではx−1≥0なので∫12(x−1)dx=1/2です。
- ここが結論
- 面積は1/2+1/2=1です。一方、区間全体の定積分∫02(x−1)dxは0であり、面積とは一致しません。
注意
区間全体に一度だけ絶対値を付けない
確認
確認テスト
Q1
関数fがa<cでx軸より下、c<x≤bでx軸より上にあり、f(c)=0です。面積を表す式はどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
定積分はx軸上を正、下を負とする
- 2
図形の面積は常に0以上
- 3
x軸との交点で積分区間を分ける
- 4
各区間の上下を確認して正の面積を足す
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