イントロ
平均と瞬間の変化率
区間の傾きを一点へ近づける
平均の速さはある時間幅で測れますが、瞬間の速さには幅がありません。そこで幅を0にせず、少しずつ狭くした平均変化率が近づく値を調べます。
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定義
平均の変化率
- 教科書では
- 入力がaからbまで変わる間の、出力の変化量を入力の変化量で割った値です。
- 言いかえると
- グラフでは二点(a,f(a))と(b,f(b))を結ぶ割線の傾きです。b=a+hと置いてhを小さくすると、二点目が一点目へ近づき、割線の傾きが瞬間の変化率へ近づきます。
公式
区間の変化率と極限の直観
平均の変化率
(f(b)-f(a))(b-a)
区間[a,b]での出力の変化量を入力の変化量で割った割線の傾き。
- a,b区間の両端
- f(b)-f(a)出力の変化量
- b-a入力の変化量
一点へ近づける形
(f(a+h)-f(a))h (h→0, h≠0)
区間幅hを0ではないまま小さくし、傾きが近づく値を調べる。
- h0へ近づける区間幅
使うときのコツ
h=0を代入するのではなく、近づく途中の値を見る
解くコツ
まず差分商をhの式へ整理し、約分してからhを0へ近づけます。
手順
瞬間の変化率へ近づく手順
- 1
基準となる入力aを決める
- 2
もう一つの入力をa+hと置く
- 3
出力の差f(a+h)−f(a)を求める
- 4
入力の差hで割り、h≠0のまま式を整理する
- 5
hを正負から0へ近づけたときの値を読む
要点
h=0とh→0は違う
h=0を代入すると二点が同じになり、変化量を0で割る式になります。極限ではhは常に0以外ですが、0にどこまでも近い値を取るとき、式全体がどこへ近づくかを見ます。
- 1
差分商を作る間はh≠0
- 2
約分後の式の近づく値を読む
- 3
右側と左側の両方から同じ値へ近づく
- 4
割線の極限が接線の傾きになる
例
- 場面
- f(x)=x²で、x=1からx=1+hまでの平均変化率を調べる。
- 順に考えると
- 差分商は{(1+h)²−1²}/h=(2h+h²)/h=2+hです。h=1,0.1,0.01なら3,2.1,2.01、h=−0.1なら1.9です。両側からhを0へ近づけると2へ近づきます。
- ここが結論
- x=1での瞬間の変化率は2と考えられます。h=0を代入する前に約分しています。
注意
最初からh=0を入れない
確認
確認テスト
Q1
f(x)=x²でx=2からx=2+hまでの平均変化率を整理した式はどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
平均の変化率は二点を結ぶ割線の傾き
- 2
二点目をa+hと置き、hを0へ近づける
- 3
hは0ではないまま差分商を整理する
- 4
割線の傾きが近づく値を瞬間の変化率と見る
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