微分係数と接線の傾き

イントロ

一点での変化を一つの数にする

区間を狭めた平均変化率が近づく値を、その点での微分係数と呼びます。グラフでは、その点に沿う接線の傾きを表します。

定義

教科書では: 差分商{f(a+h)−f(a)}/hがh→0で近づく値で、f'(a)と書きます。
言いかえると: f'(a)は関数全体ではなく、指定した一点aでの傾きを表す一つの数です。正ならその付近で右上がり、負なら右下がり、0なら水平な接線をもちます。

公式

x=aでの微分係数

f'(a)=lim_h→0 (f(a+h)-f(a))h

点(a,f(a))と(a+h,f(a+h))を結ぶ割線の傾きが近づく値。

使うときのコツ

定義から求めるときは分子を展開し、hを約分してから極限を見る

解くコツ

点の座標f(a)と、定義から得た傾きf'(a)を分けて求めます。

手順

要点

曲線と一点だけ共有することは接線の十分な説明ではありません。三次関数では接線が別の点でも曲線と交わることがあります。重要なのは、接点のすぐ近くで曲線と同じ傾きをもつことです。割線の二点を近づけた極限として接線を捉えれば、共有点の個数に頼らず局所的な向きを判断できます。

例

場面: f(x)=x²のx=2における微分係数を定義から求める。
順に考えると: {(2+h)²−2²}/h=(4h+h²)/h=4+hです。hを0へ近づけると4になるのでf'(2)=4です。点(2,4)での接線は傾き4をもちます。
ここが結論: 微分係数は4。関数値f(2)=4と数値は同じでも、役割は高さと傾きで異なります。

注意

確認

Q1

ある点aでf'(a)<0と分かったとき、グラフの局所的な説明として正しいものはどれですか。

まとめ

各xにおける微分係数を対応させた導関数を、元の関数の各点の傾きをまとめた新しい関数として読みます。

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