導関数の意味

イントロ

各点の傾きを新しい関数にする

一点ごとに求めた微分係数を、入力xに対応させて並べると導関数f'(x)になります。元のグラフが場所によってどう傾くかを一つの式で表します。

定義

教科書では: 関数fの各xに、その点での微分係数を対応させる関数f'(x)です。
言いかえると: f'(a)は特定の一点aでの数、f'(x)はxを動かしたときの傾き全体を表す関数です。導関数が正・0・負のどこにあるかを見ると、元の関数の増加、水平、減少を予想できます。

公式

各xでの差分商

f'(x)=lim_h→0 (f(x+h)-f(x))h

基準点を固定したaではなく変数xのままにし、各点の微分係数を表す。

使うときのコツ

f'(a)は導関数へx=aを代入した値

解くコツ

元の関数の点の高さと、導関数の同じxでの傾きの値を縦に対応させます。

手順

要点

fのグラフのy値は元の量、f'のグラフのy値はその量の変化率です。同じxで上下に対応していても、数値の単位や意味は異なります。たとえば位置と速度の関係です。

例

場面: f(x)=x²について導関数f'(x)=2xを傾きの表として読む。
順に考えると: x=−1,0,1でf'(x)は−2,0,2です。放物線はx=−1で右下がり、原点で水平、x=1で右上がりです。導関数の直線の値が、元の曲線の各点の傾きになっています。
ここが結論: f'(x)=2xは放物線の高さではなく、場所ごとの傾きを一覧にした関数です。

注意

確認

Q1

ある区間でf'(x)>0が続くとき、元の関数fの説明として最も適切なものはどれですか。

まとめ

べき関数の微分公式と、定数倍・和・差の規則を組み合わせて、多項式の導関数を正確に求めます。

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