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多項式の微分法
項ごとに「係数×次数、次数を1下げる」
多項式は各項を分けて微分できます。axⁿは係数にnを掛けて指数を1下げ、定数項は0にします。
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定義
多項式の微分
- 教科書では
- べき関数の公式と、定数倍・和・差の規則を各項へ適用して導関数を求める計算です。
- 言いかえると
- 式全体を一度に変形するのではなく、項を縦に分けて処理すると符号や係数の誤りを防げます。最後に元の次数より導関数の次数が1小さいかを確認します。
公式
多項式を微分する三つの規則
べき関数
(xn)'=nxn-1
指数nを係数に掛け、指数を1小さくする。
- n正の整数
- 'xで微分した導関数
使うときのコツ
n=1なら(x)'=1
定数倍と和・差
(af(x)±bg(x))'=af'(x)±bg'(x)
定数係数と加減の符号を保ったまま、各関数を微分する。
- a,b定数
- f,g微分する関数
使うときのコツ
定数だけの項の導関数は0
解くコツ
項を分ける→係数に次数を掛ける→指数を1下げる→定数項を消す、の順に処理します。
手順
計算を崩さない手順
- 1
多項式を加減で区切って項を並べる
- 2
各項の係数にその項の次数を掛ける
- 3
xの指数を1だけ下げる
- 4
定数項を0にする
- 5
符号と次数を元の式と照合する
要点
計算後は次数で検算する
三次多項式を微分すると高くても二次、二次多項式なら高くても一次になります。最高次の項が消える特別な場合を除き、次数が1下がっていなければ指数処理を見直します。各項を独立に処理した後、元の式の項数と符号を上から順に照合すると、係数や負号の落としも見つけられます。
- 1
定数係数は残す
- 2
指数は係数へ掛けてから1下げる
- 3
加減の符号はそのまま保つ
- 4
定数項の変化率は0
例
- 場面
- f(x)=3x³−2x²+5x−7の導関数を求める。
- 順に考えると
- (3x³)'=9x²、(−2x²)'=−4x、(5x)'=5、(−7)'=0です。各項を加えるとf'(x)=9x²−4x+5になります。
- ここが結論
- f'(x)=9x²−4x+5。三次から二次へ次数が1下がったことも確認できます。
注意
指数だけを下げない
確認
確認テスト
Q1
f(x)=−2x³+4x²−6の導関数として正しいものはどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
多項式は項ごとに微分できる
- 2
axⁿはanxⁿ⁻¹になる
- 3
加減の符号と定数係数は保つ
- 4
定数項は0、最高次数は通常1下がる