イントロ
導関数と接線の方程式
接点と傾きを別々に求めてから結ぶ
x=aでの接線は、曲線上の点(a,f(a))を通り、傾きf'(a)をもつ直線です。二つの情報を点傾き形式へ入れます。
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定義
接線の方程式
- 教科書では
- 曲線y=f(x)のx=aにおける接線は、y−f(a)=f'(a)(x−a)で表されます。
- 言いかえると
- aを導関数へ代入して傾きだけ求めても、直線の位置は決まりません。元の関数へもaを代入して接点のy座標を求めることが必要です。
公式
接点での接線
接線の基本形
y-f(a)=f'(a)(x-a)
点(a,f(a))を通り、傾きf'(a)をもつ直線。
- a接点のx座標
- f(a)接点のy座標
- f'(a)接点での傾き
使うときのコツ
f(a)とf'(a)は別々の式へaを代入する
解くコツ
①f'(x)を求める、②f'(a)を求める、③f(a)を求める、④基本形へ代入、の順を固定します。
手順
接線を求める手順
- 1
元の関数f(x)を微分してf'(x)を求める
- 2
接点のx座標aをf'(x)へ代入し傾きf'(a)を求める
- 3
aを元のf(x)へ代入し接点(a,f(a))を求める
- 4
y−f(a)=f'(a)(x−a)へ代入する
- 5
指定された形に整理し、接点を通るか検算する
要点
代入先を混同しない
接点の高さは元の関数f、傾きは導関数f'から得ます。同じaを使いますが、二つの式の役割は異なります。図に接点と傾きの短い線分を書けば混同しにくくなります。直線の式を整理した後もx=aを代入し、y=f(a)になることを確かめれば、切片の計算ミスを独立に検出できます。
- 1
f(a)は接点の高さ
- 2
f'(a)は接線の傾き
- 3
接線は必ず(a,f(a))を通る
- 4
最後にx=aを接線へ代入して確認できる
例
- 場面
- 曲線y=x²上のx=1における接線を求める。
- 順に考えると
- f'(x)=2xなので傾きはf'(1)=2です。接点は(1,f(1))=(1,1)。よってy−1=2(x−1)となり、整理するとy=2x−1です。
- ここが結論
- 接線はy=2x−1。x=1を代入するとy=1となり、接点を通ります。
注意
f'(a)を接点のy座標にしない
確認
確認テスト
Q1
f(x)=x²−3xのx=2における接線として正しいものはどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
接点は(a,f(a))、傾きはf'(a)
- 2
接線はy−f(a)=f'(a)(x−a)
- 3
f(a)とf'(a)の代入先を分ける
- 4
完成した直線が接点を通るか検算する