イントロ
導関数の符号と関数の増減
傾きの正負を区間の動きへ翻訳する
f'(x)>0ならfは増加し、f'(x)<0なら減少します。f'(x)=0の点で区間を分け、各区間の符号を調べます。
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定義
増減表
- 教科書では
- x、導関数f'(x)の符号、元の関数f(x)の増減を同じ区切りで並べた表です。
- 言いかえると
- 導関数の零点は傾きが水平になる候補ですが、そこだけを見ても増加と減少は決まりません。零点で区切られた各区間から代表値を選び、符号を確定します。
公式
導関数の符号と増減
増加する条件
f'(x)>0 ⇒ f(x)は増加
接線の傾きが正の区間では、xの増加に伴って関数値が上がる。
- f'(x)各点における接線の傾き
- >正であること
使うときのコツ
右上がりの矢印↗へ対応
減少する条件
f'(x)<0 ⇒ f(x)は減少
接線の傾きが負の区間では、xの増加に伴って関数値が下がる。
- <負であること
- f元の関数
使うときのコツ
右下がりの矢印↘へ対応
解くコツ
f'=0を解く→数直線を区切る→各区間の符号を決める→符号を増減の矢印へ置き換えます。
手順
増減表を作る手順
- 1
関数を微分してf'(x)を求める
- 2
方程式f'(x)=0を解いて区切りとなるxを求める
- 3
零点を小さい順に数直線へ置く
- 4
各区間の代表値をf'(x)へ代入して符号を調べる
- 5
正を増加、負を減少の矢印へ変換する
要点
調べるのはfではなくf'の符号
元の関数値が負でも、導関数が正ならその場所で関数は増加しています。「グラフがx軸より上か下か」と「右上がりか右下がりか」は別の情報です。
- 1
fの正負はグラフの高さ
- 2
f'の正負はグラフの向き
- 3
f'=0は区間の境界候補
- 4
代表値は各区間から一つ選ぶ
例
- 場面
- f'(x)=3(x+1)(x−1)である関数の増減を調べる。
- 順に考えると
- 零点は−1と1です。x=−2、0、2を代入するとf'の符号は順に正、負、正。したがってfはx<−1で増加、−1<x<1で減少、x>1で増加します。
- ここが結論
- 増減は↗｜↘｜↗。零点だけでなく三つの区間の符号を調べて決めます。
注意
f'(x)=0の解だけで増減を決めない
確認
確認テスト
Q1
ある区間でf(x)<0かつf'(x)>0です。この区間のグラフを正しく説明しているものはどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
f'>0なら増加、f'<0なら減少
- 2
f'=0の解で区間を分ける
- 3
各区間の代表値で符号を確定する
- 4
fの符号とf'の符号を混同しない