イントロ
極大・極小とグラフの概形
増減の向きが切り替わる場所を見る
増加から減少へ変わる点で極大、減少から増加へ変わる点で極小になります。f'=0だけでなく、その左右の符号変化で判定します。
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定義
極値
- 教科書では
- ある点の近くで関数値が周囲より大きいとき極大値、小さいとき極小値といい、両方を極値といいます。
- 言いかえると
- 極値は近くの点との比較です。区間全体で最も大きい最大値・最も小さい最小値とは同じとは限りません。極値を答えるときはx座標だけでなく元の関数値も求めます。
公式
符号変化による極値判定
極大の判定
f': 正 → 0 → 負 ⇒ fは極大
増加から減少へ切り替わる頂点型の動き。
- f'元の関数の導関数
- 0接線が水平になる点
使うときのコツ
増加↗から減少↘へ
極小の判定
f': 負 → 0 → 正 ⇒ fは極小
減少から増加へ切り替わる谷型の動き。
- 正・負導関数の左右の符号
- f元の関数
使うときのコツ
減少↘から増加↗へ
解くコツ
f'=0の解→左右の符号→極大・極小の種類→元の関数へ代入して極値、の順で判断します。
手順
概形を描く手順
- 1
f'(x)=0を解き、各区間の符号を調べる
- 2
正から負なら極大、負から正なら極小と判定する
- 3
候補のxを元のf(x)へ代入して極値を求める
- 4
切片など確実に通る点を追加する
- 5
増減表の矢印を滑らかな曲線でつなぐ
要点
水平な接線だけでは極値とは限らない
f'(a)=0は極値の候補を与えますが、左右で符号が変わらなければ極値ではありません。三次関数f(x)=x³ではx=0で接線が水平でも、関数は前後で増加を続けます。
- 1
極大は＋から−への変化
- 2
極小は−から＋への変化
- 3
極値はf(a)という関数値
- 4
概形は増減と通る点を同時に満たす
例
- 場面
- f(x)=x³−3xの極値を求め、概形を考える。
- 順に考えると
- f'(x)=3(x−1)(x+1)なので、符号は＋、−、＋です。x=−1で極大、x=1で極小。f(−1)=2、f(1)=−2より、極大値2、極小値−2です。
- ここが結論
- 点(−1,2)で山、点(1,−2)で谷をもち、原点を通る左下から右上への三次曲線になります。
注意
極値をx座標だけで答えない
確認
確認テスト
Q1
x=aの左右でf'(x)の符号が負から正へ変わります。正しい結論はどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
極値はf'の左右の符号変化で判定する
- 2
正→負は極大、負→正は極小
- 3
極値は候補のxを元のfへ代入して求める
- 4
増減と通る点を満たすよう概形を描く