イントロ
微分による最大・最小と変化のモデル化
式を作る前に、変数と可能な範囲を決める
最適化では、目的量を一つの変数の関数で表し、現実に許される定義域の中で導関数の符号と端点を調べます。
1 / 11 ブロック9%
上下にスクロールするかキーボードの上下キーを使うと、次の学習カードへ進めます。
定義
最適化のモデル
- 教科書では
- 最大または最小にしたい量を目的関数とし、条件を変数の範囲として表した数学的な見取り図です。
- 言いかえると
- 微分計算が正しくても、長さが負になる値や材料の寸法を超える値を選べば現実の答えにはなりません。式、定義域、単位を一組として扱います。
公式
閉区間で比較する候補
最大・最小の候補
端点 と 区間内の f'(x)=0 の点
定義域の端と、内部で増減が切り替わる可能性のある点をすべて比較する。
- f最大・最小にしたい目的関数
- x条件を表す一つの変数
- f'(x)目的量の変化率
使うときのコツ
候補を列に並べ、関数値と単位を比較する
解くコツ
変数を決める→定義域を書く→目的関数を作る→微分する→内部候補と端点を比較→現実の言葉で答えます。
手順
モデル化して最大値を求める手順
- 1
最大・最小にしたい量と、動かす変数xを決める
- 2
長さや時間の条件からxの定義域を定める
- 3
目的量をxだけの関数f(x)で表す
- 4
f'(x)=0のうち定義域内の候補を選び増減を調べる
- 5
必要なら端点と比較し、単位を付けて状況へ戻す
要点
極大値と最大値を区別する
微分で見つかる内部の極値は最大・最小の候補です。定義域が閉区間なら端点の関数値も比較します。開区間でも、寸法が0になる境界が問題の意味を持つか確認します。
- 1
変数の意味と単位を宣言する
- 2
定義域は式を作る前に書く
- 3
候補が定義域内か確認する
- 4
答えは元の問いの量と単位で示す
例
- 場面
- 12 cm四方の紙の四隅から一辺x cmの正方形を切り取り、ふたのない箱を作る。体積を最大にするxを求める。
- 順に考えると
- 高さx、底面は(12−2x) cm四方なのでV=x(12−2x)²、定義域は0<x<6です。V'=12(x−2)(x−6)。区間内の候補x=2の前後でV'は正から負へ変わります。
- ここが結論
- x=2 cmのとき最大。箱の体積は2×8²=128 cm³です。x=6は底面が0になる境界で候補外です。
注意
f'(x)=0の解をすべて答えにしない
確認
確認テスト
Q1
閉区間1≤x≤5で関数fの最大値を求めるとき、必ず比較すべき対象はどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
目的量を一変数の関数にする
- 2
現実の条件から定義域を先に決める
- 3
内部の極値候補と必要な端点を比較する
- 4
定義域と単位を確認して現実の答えに戻す