不定積分と原始関数

イントロ

微分を逆向きにたどり、定数の自由を残す

F'(x)=f(x)となるFをfの原始関数といいます。原始関数は定数分だけ違うため、不定積分には必ず積分定数Cを付けます。

定義

不定積分

教科書では: 関数f(x)のすべての原始関数を、∫f(x)dx=F(x)+Cの形でまとめたものです。
言いかえると: 定数を微分すると0になるため、F(x)、F(x)+3、F(x)−10はすべて同じ導関数をもちます。Cはその定数の違いを一つの文字で表します。

公式

多項式の不定積分

べき関数の積分

∫xⁿ dx=x^(n+1)(n+1)+C

指数を1増やし、新しい指数で割って積分定数を加える。

n0以上の整数
C任意の積分定数
dxxについて積分すること

使うときのコツ

微分とは逆に、指数を先に1増やす

定数倍と和・差

∫(af(x)±bg(x))dx=a∫f(x)dx±b∫g(x)dx

多項式を項ごとに積分できる。

a,b定数
f,g積分する関数

使うときのコツ

最後の積分定数はまとめて+C

解くコツ

項を分ける→指数を1増やす→増やした指数で係数を割る→最後に+C→微分して戻るか確認します。

上下に平行移動した三つの放物線がすべて同じ導関数2xをもつことを示す図 — 左のx²−2、x²、x²+2は縦にずれていても傾きは同じです。右の共通する導関数2xへ矢印を集め、失われる定数を+Cで表します。

手順

不定積分を求める手順

1
積分する式を加減で項に分ける
2
各項のxの指数を1増やす
3
元の係数を増やした指数で割る
4
各項をまとめ、式の最後に+Cを付ける
5
答えを微分し元の被積分関数へ戻るか確認する

要点

積分定数は答えの一部

不定積分は一つの関数ではなく関数の集まりです。+Cを省くと、そのうち一つしか表せません。ただし各項に別々の定数を書く必要はなく、最後に一つのCへまとめます。

1
原始関数を微分すると元の関数
2
定数の導関数は0
3
不定積分には+Cが必要
4
検算は答えを微分する

例

場面: ∫(6x²−4x+3)dxを求める。
順に考えると: 6x²は6×x³/3=2x³、−4xは−4×x²/2=−2x²、3は3xになります。最後に積分定数Cを加えます。
ここが結論: 2x³−2x²+3x+C。微分すると6x²−4x+3へ戻るので確認できます。

注意

指数を増やすだけで終えない

確認

確認テスト

Q1

∫(3x²+2)dxとして正しいものはどれですか。

まとめ

1
原始関数FはF'=fを満たす
2
不定積分はF(x)+Cという関数族
3
べきは指数を1増やし、その指数で割る
4
答えを微分して元の式へ戻るか検算する

微分・積分の考え

定積分の計算

原始関数を一つ求め、上端での値から下端での値を引くことで定積分を計算し、積分区間の向きと符号も確認します。