定積分の計算

イントロ

原始関数を一つ選び、必ず上端−下端

区間aからbまでの定積分は、fの原始関数Fを用いてF(b)−F(a)と計算します。不定積分のような+Cは最後の差で打ち消されます。

定義

定積分

教科書では: 関数f(x)と二つの数a、bに対して、原始関数Fを一つ取り、F(b)−F(a)で定める値です。
言いかえると: ∫の下に書くaを下端、上に書くbを上端といいます。結果はxを含む関数ではなく一つの数です。原始関数をF(x)+Cと選んでも、{F(b)+C}−{F(a)+C}となりCは消えます。

公式

定積分を原始関数の差で求める

定積分の計算

∫_a^b f(x)dx=[F(x)]_a^b=F(b)−F(a)

F'(x)=f(x)となる原始関数を一つ選び、上端値から下端値を引く。

a積分区間の下端
b積分区間の上端
Ffの原始関数

使うときのコツ

角括弧を見たら、右上を代入した値−右下を代入した値

上下端の交換

∫_b^a f(x)dx=−∫_a^b f(x)dx

積分する向きを逆にすると値の符号が反転する。

a,b交換する二つの端

使うときのコツ

端の順序は計算結果の符号を決める

解くコツ

被積分関数の原始関数を求め、角括弧へ書き、上端を代入した値と下端を代入した値を別々に計算してから引きます。

数直線上の下端aから上端bへの向きと、原始関数の値F(a)とF(b)の差を対応させた図 — 左の数直線はaからbへ進む積分区間を示します。右では同じ順序で原始関数の上端値F(b)から下端値F(a)を引き、端を交換すると矢印と符号が反転します。

手順

定積分を計算する5手

1
∫の上下から下端aと上端bを読み取る
2
被積分関数f(x)の原始関数F(x)を一つ求める
3
F(x)を[F(x)]_a^bの形へ置く
4
F(b)とF(a)を別々に計算する
5
上端値F(b)から下端値F(a)を引き、符号を確認する

要点

+Cを書かなくてもよい理由

定積分では原始関数の二つの値の差を取ります。F(x)+Cを使うと、上端にも下端にも同じCが現れて相殺されます。そのため計算途中では原始関数を一つ選べば十分です。一方、不定積分は関数族を答えるので+Cが必要です。

1
定積分の答えは区間に対応する数
2
上端−下端の順序を崩さない
3
同じ積分定数は差で消える
4
上下端を逆にすると符号が反転する

例

場面: ∫₀²(x+1)dxを計算する。
順に考えると: x+1の原始関数をF(x)=x²/2+xとします。[x²/2+x]₀²へ上下端を代入すると、F(2)=2²/2+2=4、F(0)=0です。上端値から下端値を引きます。
ここが結論: ∫₀²(x+1)dx=4−0=4です。反対向きの∫₂⁰(x+1)dxなら−4になります。

注意

下端値を引く括弧を省かない

確認

確認テスト

Q1

F'(x)=f(x)のとき、∫₁³ f(x)dxを表す式はどれですか。

まとめ

1
定積分は原始関数の上端値−下端値
2
計算結果はxを含まない一つの数
3
積分定数Cは二つの値の差で消える
4
積分区間の向きを逆にすると符号も反転する

微分・積分の考え

微分と積分の関係

微分は量から瞬間の変化率を取り出し、積分は変化率を区間で累積して量の変化を戻すという往復関係を整理します。