常用対数と桁数

イントロ

大きな数を10の何乗かで測る

常用対数は、数の大きさを10の累乗の目盛りで表します。値の整数部分を見ると、実際に巨大な数を計算しなくても桁数を判断できます。

定義

教科書では: 10を底とする対数で、log₁₀ Nを通常log Nと略記します。
言いかえると: Nが10のk乗以上で10のk+1乗未満なら、log Nはk以上k+1未満です。正の整数Nはこのときk+1桁です。整数部分と桁数が一つずれる点が重要です。

公式

n桁の条件

10^n-1≤N<10ⁿ ⇔ n-1≤log₁₀ N<n

正の整数Nが10のn−1乗以上、10のn乗未満ならNはn桁。

使うときのコツ

log Nの整数部分がkなら、Nはk+1桁

解くコツ

累乗を対数の係数へ移し、得た値を連続する二つの整数ではさみます。

手順

要点

log Nが整数3でも、桁数は3ではありません。N=1000=10³は、10³以上10⁴未満の区間の左端にあり4桁です。対数値が境界に一致するときも、整数部分に1を加える規則を保ちます。近似した対数値が整数のすぐ近くなら、丸める前の大小関係を使い、桁の境界をまたいでいないか確認します。

例

場面: log 2≈0.3010を使い、2の20乗の桁数を求める。
順に考えると: log(2の20乗)=20log2≈20×0.3010=6.020です。6≤6.020<7なので、10⁶≤2の20乗<10⁷です。したがって2の20乗は7桁です。実際の値を掛け続ける必要はありません。
ここが結論: 2の20乗は7桁。常用対数の整数部分6に1を加えます。

注意

確認

Q1

正の整数Nについて4.3<log N<4.4と分かるとき、Nは何桁ですか。

まとめ

一定倍率で変化する事象を指数関数で表し、目標値へ達する時刻を対数で求めて単位とモデルの前提まで解釈します。

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