指数・対数で事象を捉える

イントロ

倍率を式にし、時刻を逆算する

量が一定倍率で変化するとき、指数関数が将来の量を表し、対数が目標値へ達する時刻を逆算します。計算後は単位と観測の仕方へ戻す必要があります。

定義

教科書では: 初期量に、一定時間ごとの倍率を時刻の回数だけ掛ける関数モデルです。
言いかえると: 時刻tでの量を初期量K、1回ごとの倍率rとして表します。r>1なら成長、0<r<1なら減衰です。未知の時刻が指数にあるため、目標量からtを求めるときに対数を使います。

公式

量の変化

Q(t)=K r^t

時刻0の量Kに、1単位時間ごとの倍率rをt回掛けた量。

使うときのコツ

減少率pなら倍率は1−p

解くコツ

場面からK、r、tの単位を特定し、式を立ててから対数でtを孤立させます。

手順

要点

同じ倍率が続くという仮定は、限られた期間の近似です。薬の体内残量、人口、価格などは、外部条件や上限によって倍率が変わることがあります。式の答えだけでなく、適用できる期間を述べます。

例

場面: 初期量100が1時間ごとに80%へ減る。50以下になる最初の整数時刻を求める。
順に考えると: 量は100×0.8のt乗です。100×0.8のt乗≤50から0.8のt乗≤0.5。対数を取るとt≥log0.5/log0.8≈3.11です。観測は1時間ごとなので、条件を初めて満たす整数時刻は4時間後です。
ここが結論: 約3.11時間という境界を求め、問いに合わせて4時間後と答えます。

注意

確認

Q1

初期量200が1日ごとに10%増えるとき、t日後の量を表す式はどれですか。

まとめ

角を回転量として捉え、正負や1周を超える一般角の終辺と、同じ終辺をもつ角を正確に表します。

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