イントロ
指数方程式・不等式
底をそろえて指数を比べる
指数が未知数でも、両辺を同じ底の累乗へ直せればグラフの単調性で指数を比較できます。不等式では底が1より小さい場合だけ向きが逆になる点が核心です。
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定義
指数方程式・指数不等式
- 教科書では
- 未知数が指数部分に含まれる方程式・不等式です。
- 言いかえると
- 同じ底の指数関数は一対一なので、等しい関数値なら指数も等しくなります。不等式では増加関数なら指数の大小を保ち、減少関数なら指数の大小を逆にします。
公式
指数を比較できる条件
方程式
au=av ⇒ u=v
a>0、a≠1なら、同じ底の累乗が等しいとき指数が等しい。
- u,v比較する指数
- a共通する底
不等式
a>1: au<av⇔u<v; 0<a<1: au<av⇔u>v
増加する底では向きを保ち、減少する底では指数の不等号を逆にする。
- a増減を決める底
使うときのコツ
底の範囲を式の横に書いてから比較する
解くコツ
両辺を同じ底へ直し、底の範囲を確認してから指数だけを比較します。
手順
解く手順
- 1
数を素因数分解し、両辺を同じ底へ直せるか探す
- 2
指数法則で各辺を一つの累乗にまとめる
- 3
底が正で1ではないことを確認する
- 4
方程式なら指数を等しく置く
- 5
不等式なら底による向きを確認して指数を比較する
要点
底の選び方
8と4ならどちらも底2へ、9と27ならどちらも底3へ直します。底を無理に大きい方へそろえる必要はありません。指数が整数になる最も基本的な底を選ぶと計算が短くなります。
- 1
8=2³、4=2²のように共通の素数底を探す
- 2
1/2は2の−1乗として扱える
- 3
底をそろえた後に指数法則を使う
例
- 場面
- (1/2)のx−1乗が8より大きい範囲を求める。
- 順に考えると
- 8は2³、(1/2)のx−1乗は2の1−x乗です。共通の底2は1より大きいので、不等号の向きを保って1−x>3とします。整理するとx<−2です。底1/2のまま比べるなら向きを逆にする必要があります。
- ここが結論
- 解はx<−2。どの底で比較したかと単調性を一組で扱います。
注意
底が1未満なら向きを逆にする
確認
確認テスト
Q1
(1/3)のx乗<(1/3)の2乗から得られる不等式はどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
両辺を共通の底の累乗へ直す
- 2
方程式では同じ底なら指数を等しく置く
- 3
a>1では不等号を保つ
- 4
0<a<1では不等号の向きを逆にする