対数の定義と指数表示

イントロ

何乗したかを答える記号

対数は新しい計算を突然導入する記号ではなく、指数関数の問いを逆向きに読む表現です。底を何乗すると指定された数になるかを答えます。

定義

教科書では: aを何乗するとbになるかを表す数cを、aを底とするbの対数といいます。
言いかえると: aのc乗=bという一つの関係を、cに注目してlog_a b=cと書きます。底aは正で1ではなく、真数bは正です。この条件は指数関数の値が常に正で、一対一になるために必要です。

公式

定義

a^c=b ⇔ log_a b=c

底a、指数c、結果bの関係を、指数に注目する対数表示へ書き換える。

使うときのコツ

底はどちらの表示でもaのまま

解くコツ

log_a bを見たら「aを何乗するとbか」と日本語で読みます。

手順

要点

aの0乗=1なのでlog_a 1=0、aの1乗=aなのでlog_a a=1です。どちらも公式として別に暗記するより、指数表示へ戻すと意味を確かめられます。値が負の対数も、真数が負という意味ではありません。たとえばlog₂(1/8)=−3は2⁻³=1/8と読みます。

例

場面: 2の5乗=32を対数表示に直し、log₃(1/9)の値も求める。
順に考えると: 2の5乗=32では底2、指数5、結果32なのでlog₂ 32=5です。1/9は3の−2乗だからlog₃(1/9)=−2です。対数の値が負でも、真数1/9は正です。
ここが結論: 指数が対数の答えになる。負の対数は0と1の間の正の真数に対応します。

注意

確認

Q1

4の3乗=64を対数表示に直したものはどれですか。

まとめ

対数の積・商・累乗の性質を成立条件とともに使い、和や差を一つの対数へまとめて計算します。

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