イントロ
対数の性質と計算
外の演算と真数の演算を対応させる
対数の外側の加法は真数の積、減法は真数の商、係数は真数の累乗に対応します。指数法則を逆向きに読んだ性質です。
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定義
対数の基本性質
- 教科書では
- 共通の底について、真数の積・商・累乗を対数の和・差・係数へ移す規則です。
- 言いかえると
- MとNが正なら、aの対数を取ることで掛け算を足し算へ、割り算を引き算へ変えられます。ただし真数の足し算そのものには分配できません。どの法則も指数法則から確かめられます。
公式
三つの対数法則
積と商
loga(MN)=loga M+loga N; loga(MN)=loga M-loga N
正の真数の積は対数の和、商は対数の差へ変わる。
- M,N正の真数
- a共通の底
累乗
loga(Mr)=r loga M
真数の指数は対数の前の係数へ移せる。
- r真数の累乗指数
使うときのコツ
逆向きにも使い、係数を指数へ戻せる
解くコツ
対数の底が共通か、真数が正かを確認してから法則を選びます。
手順
式をまとめる手順
- 1
すべての対数の底が同じか確認する
- 2
各真数が正である条件を確認する
- 3
係数があれば真数の指数へ戻す
- 4
加法を積、減法を商へ変える
- 5
最後に指数表示へ戻せる値か確認する
要点
法則を逆向きにも使う
loga M+loga Nをloga(MN)へまとめるだけでなく、loga(MN)を二つに分けることもできます。計算したい値や方程式の形に合わせ、真数側と対数側のどちらが簡単かを選びます。変形の前後で各真数が正である条件も保ち、法則を使える範囲を式と一緒に管理します。
- 1
積の計算は対数側で和にできる
- 2
複数の対数は真数側で一つにまとめられる
- 3
底が異なるままでは直接まとめない
例
- 場面
- log2 8+log2 4−log2 2を計算する。
- 順に考えると
- 底はすべて2、真数は正です。加法を積、減法を商へ変えるとlog2(8×4/2)=log2 16です。2の4乗=16なので値は4です。個別に3+2−1と求めても一致します。
- ここが結論
- 答えは4。まとめた後に指数表示へ戻して検算できます。
注意
真数の和には分配しない
確認
確認テスト
Q1
log3 4+log3 9を一つの対数にまとめた式はどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
真数の積は対数の和、商は差
- 2
真数の累乗は対数の係数へ移せる
- 3
底を共通にし、真数が正か確認する
- 4
真数の和・差には分配しない